/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 1799088

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Częścią wspólną płaszczyzny m i kuli k o środku S i promieniu R jest koło o . Jaka musi być odległość płaszczyzny m od środka kuli S , aby stożek o podstawie o i wierzchołku S miał największą możliwą objętość? Oblicz tę maksymalną objętość.

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.

PIC

Jeżeli oznaczymy przez x odległość płaszczyzny m od środka kuli, a przez r promień podstawy stożka, to

r2 = R2 − x2

i objętość stożka jest równa

V = 1πr 2 ⋅x = 1π (R 2 − x 2)x. 3 3

Musimy zatem wyznaczyć największą możliwą wartość funkcji

f(x) = (R 2 − x2)x = R 2x − x3

określonej na przedziale x ∈ (0,R ) . Liczymy pochodną

( 2 ) ( ) ( ) ′ 2 2 2 R-- -R-- R--- f (x) = R − 3x = − 3 x − 3 = − 3 x− √ 3 x + √ 3 .

Wykresem pochodnej jest parabola o ramionach skierowanych w dół, zatem w przedziale ( ) 0 , R√- 3 pochodna jest dodatnia, czyli f rośnie, a w przedziale ( ) √R-,R 3 pochodna jest ujemna, czyli funkcja maleje. Największa wartość jest więc przyjmowana dla √ - x = R√--= R3-3 3 . Mamy wtedy

√ -- √ -- √ -- 1 π ( R 2) R 3 π 2 R 3 2 3 V = -π (R 2 − x 2)x =-- R 2 − --- ⋅----- = --⋅--R2 ⋅----- = ----πR 3. 3 3 3 3 3 3 3 27

 
Odpowiedź: Odległość: √ - R--3 3 , objętość: √ - 2273πR 3 .

Wersja PDF