Zadanie nr 2185517

W metalowym ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości i krawędzi podstawy wydrążono otwór w kształcie walca, którego oś symetrii pokrywa się z osią symetrii ostrosłupa (patrz rysunek). Otwór wydrążono przez podstawę ostrosłupa w ten sposób, że górna podstawa walca nie wystaje poza powierzchnię ostrosłupa. Jaka może być najmniejsza możliwa objętość otrzymanej w ten sposób bryły?

Rozwiązanie

Objętość otrzymanej bryły będzie najmniejsza, gdy objętość wydrążonego walca będzie największa. W szczególności górna podstawa walca musi być styczna do ścian bocznych ostrosłupa. Naszkicujmy przekrój opisanej sytuacji płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii ostrosłupa i prostopadłą do jednej z krawędzi podstawy.

Jeżeli jest promieniem podstawy walca, a jego wysokością, to z podobieństwa trójkątów ACD i ABE mamy

AC--= AB-- DC EB a a− r a− r H 2- = -2---- ⇒ h = -2-a--⋅H = --(a− 2r). H h 2 a

Objętość walca jest więc równa

( ) V = πr 2 ⋅h = πr2 ⋅ H-(a − 2r) = πH r2 − 2r3 . a a

Sprawdzamy teraz kiedy funkcja

f(r) = r2 − 2-r3 a

określona dla ( a ) r ∈ 0,2 przyjmuje wartość największą. Liczymy pochodną

6 6 ( a) f′(r) = 2r − --r2 = − -r r− -- . a a 3

Widać stąd, że na przedziale a (0,3) funkcja jest rosnąca (pochodna jest dodatnia), a na przedziale a a ( 3,2) malejąca (pochodna jest ujemna). Zatem największą objętość walca otrzymamy dla r = a3 . Jest ona wtedy równa