/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 2467052

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o objętości V = 4 . Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy, a przez H wysokość graniastosłupa.

PIC

Z podanej objętości mamy

4 = a2H ⇒ H = -4-. a 2

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej.

16 Pc = 2a2 + 4aH = 2a2 + --. a

Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji 2 16 f(a) = 2a + -a określonej dla a ∈ (0,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

3 f′(a ) = 4a− 16-= 4⋅ a-−--4. a2 a2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla ( √3-) a ∈ 0, 4 i dodatnia dla ( 3√ -- ) a ∈ 4,+ ∞ . To oznacza, że funkcja f jest malejąca w przedziale ( √3-⟩ 0, 4 i rosnąca w przedziale ⟨√3-- ) 4,+ ∞ . Najmniejsze pole otrzymamy więc dla a = 3√ 4- . Wysokość prostopadłościanu jest wtedy równa

4-- -4--- 3√ -- H = a2 = 3√ ---= 4, 16

czyli jest to sześcian o krawędzi 3√ -- a = 4 . Jego pole powierzchni całkowitej jest równe

√3--- 6a2 = 6 16 .

 
Odpowiedź: √ -- a = H = 3 4 , √ --- Pc = 6 3 16 .

Wersja PDF