Zadanie nr 2870137

Trójkąt równoramienny o obwodzie 12 obraca się wokół swojej osi symetrii. Oblicz dla jakich długości boków trójkąta otrzymamy stożek, w którym różnica między polem powierzchni bocznej, a polem podstawy jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczmy długość ramienia trójkąta przez , to podstawa ma długość 12 − 2x i wyniku obrotu otrzymamy stożek o promieniu podstawy r = 12−22x= 6 − x i tworzącej długości l = x .

Zauważmy jeszcze, że musi być x > 3 (żeby ramię było dłuższe od połowy podstawy) oraz x < 6 .

Różnica między polem powierzchni bocznej, a polem podstawy otrzymanego stożka jest równa

2 P(x ) = πrl − πr = πr(l − r) = π (6− x)(x − 6+ x) = 2π (6 − x)(x − 3),

gdzie x ∈ (3,6) . Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Jej wierzchołek znajduje się dokładnie między pierwiastki, czyli największą różnicę pól otrzymamy dla 3+6- 9 x = 2 = 2 , czyli dla 3 r = 6 − x = 2 .