/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 4035127

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długościach 2 i 4 wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa jego boki leżą na przyprostokątnych trójkąta, a jeden z wierzchołków prostokąta leży na przeciwprostokątnej trójkąta. Prostokąt ten obraca się dookoła prostej, zawierającej dłuższą przyprostokątną trójkąta, tworząc walec. Oblicz, który z walców, otrzymanych w powyższy sposób, posiada największe pole powierzchni bocznej i oblicz jego objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynijmy od rysunku i oznaczmy promień podstawy walca przez r , a jego wysokość przez H .

PIC

Z podobieństwa trójkąctów ABC i AF E mamy

AF-- = F-E- AB BC 2-−-r H- 2 = 4 H = (4 − 2r).

Liczymy pole powierzchni bocznej

Ppb = 2πrH = 2πr(4 − 2r) = 4π(r(2 − r)).

Wykres funkcji r(2 − r) to parabola o ramionach skierowanych w dół. Zatem największe pole powierzchni bocznej otrzymamy w wierzchołku, czyli dla r = 1 (środek odcinka łączącego pierwiastki). Wtedy H = 2 i objętość jest równa

2 V = πr H = 2π .
Wersja PDF