/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 4358338

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisujemy graniastosłupy prawidłowe czworokątne w ten sposób, że dolna podstawa graniastosłupa zawiera się podstawie ostrosłupa, a każdy z wierzchołków górnej podstawy należy do jednej z krawędzi bocznych ostrosłupa. Wiedząc, że każda z krawędzi ostrosłupa ma długość 6, oblicz jaka jest maksymalna możliwa powierzchnia boczna graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od dużego rysunku.

PIC

Gdy chwilkę poprzyglądamy się rysunkowi, powinno stać się jasne, że wszystko co jest godne uwagi w opisanej sytuacji rozgrywa się w trójkącie ACS . Jest to trójkąt równoramienny o ramionach długości 6 i podstawie długości √ -- 6 2 . Jego wysokość SP ma długość

∘ ---2-----2- √ -------- √ --- √ -- SP = SC − P C = 36− 18 = 18 = 3 2.

Oznaczmy przez Q punkt wspólny wysokości SP ostrosłupa oraz górnej podstawy graniastosłupa, przez h wysokość, a przez x długość krawędzi podstawy graniastosłupa. W takim razie MQ to połowa przekątnej w kwadracie o boku x , czyli

√ -- x 2 MQ = ----- 2

Z podobieństwa trójkątów MQS i CP S mamy

MQ--- CP-- SQ = SP √- √ -- ---x22--- 3---2 √ -- = √ --= 1 3 √ 2− h 3 2 √ -- x---2 √ -- √ -- x---2 2 = 3 2 − h ⇒ h = 3 2 − 2 .

W takim razie pole powierzchni bocznej graniastosłupa jest równe

( √ --) √ -- x--2- √ -- √ -- P(x) = 4x ⋅h = 4x ⋅ 3 2− 2 = x(12 2 − 2 2x ) = √ -- = − 2 2x(x − 6).

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku, czyli dla x = 0+6-= 3 2 (dokładnie w środku między pierwiastkami). Pole powierzchni bocznej jest wtedy równe

-- -- -- P (3) = − 2√ 2 ⋅3⋅ (3 − 6 ) = 2√ 2 ⋅3⋅3 = 18√ 2.

 
Odpowiedź: √ -- 18 2

Wersja PDF