/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 4563286

Z kawałka blachy w kształcie sześciokąta foremnego o boku długości 60 cm robimy pudełko o sześciokątnym dnie (otwarte od góry) w następujący sposób: przy każdym wierzchołku odcinamy taki sam deltoid, tnąc w tej samej odległości od wierzchołka raz prostopadle do jednego, a drugi raz do drugiego boku, następnie zaginamy blachę wzdłuż przerywanych linii i lutujemy krawędzie (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz długość krawędzi podstawy tego pudełka, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez x , a jego wysokość przez h .

PIC

Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego to 120∘ , więc ∡BAC = 60∘ i trójkącie prostokątnym ABC mamy

√ -- --h---- ∘ √ -- --3- 30− x = tg 60 = 3 ⇒ h = 2 (60− x). 2

Objętość pudełka jest więc równa

-- -- x2√ 3 √ 3 9 V (x) = Pp ⋅h = 6⋅ ------⋅----(60− x) = --(60x2 − x3). 4 2 4

Dziedziną tej funkcji jest przedział x ∈ (0,6 0) . Liczymy pochodną funkcji w nawiasie.

′ 2 f (x) = 120x − 3x = −3x (x − 40).

Wykresem pochodnej jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna przechodząc przez punkt x = 40 zmienia znak z dodatniego na ujemny. To oznacza, że funkcja f(x) jest rosnąca na lewo od x = 40 i malejąca na prawo od tego punktu. W takim razie dla x = 40 otrzymamy największą objętość pudełka. Objętość ta jest równa

9 9 V (40) = --x2(60 − x) = -⋅ 402 ⋅2 0 = 72000 . 4 4

 
Odpowiedź: Długość podstawy: 40 cm, objętość: 72000 cm 3 .

Wersja PDF