Zadanie nr 4588495

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2. Oblicz długości krawędzi tego graniastosłupa, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy prostopadłościanu, a przez długość jego wysokości.

Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

2 2a + 4ab = 2 / : 2 a2 + 2ab = 1 1-−-a2 b = 2a .

Liczymy teraz objętość prostopadłościanu.

2 2 1-−-a2 1−--a2 1- 3 V = a ⋅b = a ⋅ 2a = a⋅ 2 = 2 (a− a ).

Aby otrzymać największą objętość prostopadłościanu musimy więc wyznaczyć największą możliwą wartość funkcji f(a) = a − a3 określonej dla a ∈ (0,1) ( a < 1 , bo musi być b > 0 ). Liczymy pochodną

( 1) ( 1 ) ( 1 ) f ′(a) = 1 − 3a 2 = − 3 a2 − -- = − 3 a − √--- a+ √--- = ( √ -) ( 3√ -) 3 3 3 3 = − 3 a− ---- a + ---- . 3 3

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla ( √- ) -3- a ∈ 0, 3 i ujemna dla ( √- ) a ∈ -3-,1 3 . To oznacza, że funkcja jest rosnąca w przedziale ( √ -⟩ 0,--3 3 i malejąca w przedziale ⟨√ - ) --3,1 3 . Największą wartość objętości otrzymamy więc dla √3- a = 3 . Wysokość graniastosłupa jest wtedy równa