Zadanie nr 4812421

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEF GH , w których odcinek łączący punkt przecięcia przekątnych i podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EF GH ma długość (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wyznacz zależność objętości graniastosłupa od jego wysokości i podaj dziedzinę funkcji .
Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech będzie długością krawędzi podstawy graniastosłupa. Wtedy

$1- 1- √ -- DO = 2 DB = 2 ⋅ a 2.$

Z drugiej strony

$DO 2 = HO 2 − DO 2 = d2 − h2.$

Mamy zatem

$a2- 2 2 2 2 2 2 2 = DO = d − h ⇒ a = 2(d − h ).$

Objętość graniastosłupa jest więc równa

$V (h) = PABCD ⋅ HD = a2 ⋅h = 2(d2 − h2)h = 2d 2h− 2h3.$

Dziedziną tej funkcji jest przedział

$(0,d )$

Odpowiedź: ,
Liczymy pochodną funkcji .

$( ) ( ) ( ) ′ 2 2 2 d2 d d V (h ) = 2d − 6h = − 6 h − --- = − 6 h − √--- h+ √--- . 3 3 3$

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla i ujemna dla . To oznacza, że funkcja jest rosnąca w przedziale i malejąca w przedziale . Największą wartość objętości otrzymamy więc dla

$√ -- d d 3 h = √---= -----. 3 3$

Odpowiedź: