Zadanie nr 5078090

Firma logistyczna planuje produkcję pojemników w kształcie graniastosłupa prostego o objętości 3 m 3 i podstawie będącej prostokątem, w którym jeden z boków jest 4 razy dłuższy od drugiego. Koszt materiału potrzebnego do produkcji ścian bocznych tego pojemnika wynosi 40 zł za m 2 , a koszt materiału potrzebnego do produkcji jego górnej i dolnej podstawy wynosi 60 zł za 2 m . Oblicz jakie powinny być wymiary tego pojemnika, aby koszt jego produkcji był najmniejszy możliwy.

Rozwiązanie

Szkicujemy graniastosłup.

Zapiszmy podaną informację o objętości graniastosłupa.

3 = a ⋅4a⋅ H ⇒ H = -3--. 4a2

Koszt produkcji takiego pojemnika jest więc równy

K (a) = 2(a⋅ H ⋅40 + 4a ⋅H ⋅40+ 4a ⋅a⋅6 0) = ( ) ( ) 2 15a- 2 5-- 2 = 80(5aH + 6a ) = 8 0⋅ 4a 2 + 6a = 240 ⋅ 4a + 2a .

Wystarczy więc znaleźć wartość najmniejszą funkcji

( ) f(a) = 5--+ 2a2 4a

określonej dla a ∈ (0,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

( 3 5) ′ −-5- −-5+--16a3- 16-a--−--16-- f(a ) = 4a2 + 4a = 4a 2 = 4a2 .

Widać teraz, że pochodna ma jedno miejsce zerowe

∘ --- ∘ --- √3--- a = 3 -5-= 3 20-= --20- 16 64 4

i pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w tym punkcie. To oznacza, że funkcja maleje w przedziale ( ⟩ √320 0, 4 i rośnie w przedziale ⟨ √-- ) -320 4 ,+ ∞ . Najmniejszy koszt produkcji pojemnika otrzymamy więc dla √-- a = 320- 4 . Pozostałe krawędzie prostopadłościanu mają wtedy długości