Zadanie nr 5771596

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m 3 . Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 2 1 m dna
– 75 zł za 1 m 2 ściany bocznej.
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Rozwiązanie

Szkicujemy graniastosłup.

Zapiszmy podaną informację o objętości graniastosłupa.

144 = a2 ⋅H ⇒ H = 144. a 2

Koszt wykonania takiego zbiornika jest więc równy

2 K (a) = a ⋅ 100 + 4⋅ aH ⋅75 = ( ) 2 2 4-32 = 100(a + 3aH ) = 100⋅ a + a .

Wystarczy więc znaleźć wartość najmniejszą funkcji

( ) 2 432 f(a) = a + ---- . a

Aby ustalić jaka jest dziedzina tej funkcji musimy wykorzystać podaną informację o maksymalnej długości krawędzi prostopadłościanu. Mamy zatem a ≤ 9 i

9 ≥ H = 14-4 a2 2 144 a ≥ -9--= 16 a ≥ 4.

Dziedziną funkcji jest więc przedział ⟨4,9⟩ . Liczymy pochodną

3 3 3 f′(a) = 2a + −-43-2 = 2a--−-4-32 = 2 ⋅ a-−-6-. a2 a2 a2

Widać teraz, że pochodna ma jedno miejsce zerowe a = 6 i pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w tym punkcie. To oznacza, że funkcja maleje w przedziale (0 ,6 ⟩ i rośnie w przedziale ⟨6,+ ∞ ) . Najmniejszy koszt wykonania pojemnika otrzymamy więc dla a = 6 . Wysokość pojemnika jest wtedy równa