Zadanie nr 6052394

Mówimy, że walec jest wpisany w graniastosłup, jeżeli podstawy walca są zawarte w podstawach graniastosłupa, a powierzchnia boczna walca jest styczna do każdej ze ścian bocznych graniastosłupa (zobacz rysunek).

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne takie, że suma długości promienia i wysokości walca wpisanego w ten graniastosłup jest równa . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez i promień i wysokość walca, to wiemy, że

r+ H = K ⇒ H = K − r.

Oznaczmy ponadto przez długość krawędzi podstawy graniastosłupa.

Ponieważ podstawa walca jest kołem wpisanym w sześciokąt foremny w podstawie graniastosłupa, mamy

√ -- √ -- a--3- √ -- --2- 2--3- 2r = 2⋅ 2 = a 3 ⇒ a = √ 3r = 3 r.

Objętość graniastosłupa jest więc równa

2√ -- √ -- ( √ --) 2 V = 6⋅ a---3-⋅H = 3--3-⋅ 2---3r ⋅(K − r) = 4 2 3 √ -- 3--3- 4- 2 √ -- 2 3 = 2 ⋅3 r ⋅(K − r) = 2 3⋅ (Kr − r ).

Musimy teraz sprawdzić dla jakiej wartości funkcja

f(r) = Kr 2 − r3,

określona dla r ∈ (0,K ) , przyjmuje największą możliwą wartość. Liczymy pochodną

( ) ′ 2 2K f (r) = 2Kr − 3r = − 3r r− --- . 3

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( 2K-) 0, 3 i ujemna w przedziale (2K- ) 3 ,K . To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale ( 2K⟩ 0, 3 i maleje w przedziale ⟨ 2K ) 3-,K . Największą objętość otrzymamy więc dla r = 2K 3 . Wtedy