/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 6798766

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Tworząca stożka ma długość b . Wyznacz wysokość tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Rozwiązanie

Szkicujemy stożek.

PIC

Jeżeli oznaczymy przez r promień podstawy, a przez h wysokość utworzonego stożka, to mamy

r2 = b2 − h2

i objętość stożka jest równa

V (h) = 1πr 2 ⋅h = 1π (b2 − h2)⋅h = 1π (b2h − h3). 3 3 3

Dziedziną tej funkcji jest przedział h ∈ (0 ,b) . Liczymy pochodną, aby wyznaczyć jej maksimum.

( --) ( --) V′(h) = 1π (b2 − 3h2) = 1-π b − √ 3h b+ √ 3h . 3 3

Wykresem V ′(h) jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych: h = − √b- 3 i h = √b- 3 . To oznacza, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( ⟩ 0, b√-- 3 i ujemna w przedziale ⟨ ) √b-,b 3 . To z kolei oznacza, że największą objętość stożka otrzymamy dla √- h = √b3-= h33- . Objętość ta jest wtedy równa

( √ --) √ -- ( 2) √ -- 2 √ -- 3 V b--3- = 1πh (b2− h2) = 1-π ⋅ b-3-⋅ b2 − b-- = πb---3 ⋅ 2b-= 2--3πb--. 3 3 3 3 3 9 3 27

 
Odpowiedź: √- h = b33- , √ - 3 Vmax = 2-32π7b--

Wersja PDF