/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 7128039

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma sześcianów długości promienia podstawy i wysokości jest równa 12. Wyznacz ten spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Rozwiązanie

Szkicujemy stożek

Jeżeli za parametr przyjmiemy promień podstawy stożka, to mamy

3∘ ------- r3 + h3 = 12 ⇒ h = 12 − r3

Objętość stożka jest więc równa

∘ ------- ∘ --------- V (r) = 1-πr2 ⋅h = 1-πr2 3 12− r3 = 1π 31 2r6 − r9. 3 3 3

Wyznaczenie największej wartości objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

f(r) = 12r6 − r9.

Dziedziną tej funkcji jest przedział √ --- r ∈ (0, 312) (bo musi być h3 = 12 − r3 > 0 ). Liczymy pochodną

f ′(r) = 12 ⋅6r5 − 9r8 = 9r5(8 − r3).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale (0,2) i ujemna w przedziale 3√ --- (2 , 12) . To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale (0,2⟩ i maleje w przedziale √ --- ⟨2, 312) . W takim razie największą objętość otrzymamy dla r = 2 .