Zadanie nr 7900319

Spodek wysokości ostrosłupa ABCDS pokrywa się ze środkiem rombu ABCD w jego podstawie oraz |BD | = 2|AC | , |AS |2 + |AD |2 = 4 . Oblicz objętość ostrosłupa ABCDS jeżeli wiadomo, że pole trójkąta BDS jest największe możliwe.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Niech będzie środkiem rombu w podstawie i oznaczmy AE = CE = x , DE = BE = 2x . Przekątne rombu są prostopadłe, więc

AD 2 = AE 2 + DE 2 = x2 + (2x)2 = 5x 2

AS 2 = 4− AD 2 = 4− 5x2.

Stąd

∘ ------------ ∘ ------------- ∘ -------- SE = AS 2 − AE 2 = 4− 5x2 − x2 = 4 − 6x 2.

Pole trójkąta BDS jest więc równe

-------- ---------- 1- ∘ 2 ∘ 2 4 PBDS = 2DB ⋅SE = 2x ⋅ 4 − 6x = 2 4x − 6x .

Badamy teraz przebieg zmienności funkcji

f(x ) = 4x2 − 6x4,

której dziedziną jest ( ∘ -) x ∈ 0, 23 (bo SE 2 = 4− 6x2 > 0 ). Liczymy pochodną

( ) ( √ -) ( √ --) f ′(x) = 8x− 24x3 = − 2 4x x2 − 1- = −2 4x x − --3- x + --3- 3 3 3

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla ( √ 3) x ∈ 0,-3- i ujemna dla ( √ - ∘ --) x ∈ -33, 23 . To oznacza, że funkcja y = f (x) rośnie w przedziale ( -⟩ √-3 0, 3 i maleje w przedziale ⟨ - ∘ --) √-3 2 3 , 3 . W takim razie pole trójkąta BDS jest największe jeżeli √-3 x = 3 . Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa w tym przypadku.