Zadanie nr 7901084

Tekturowy karton ma mieć kształt prostopadłościanu, którego podstawa jest prostokątem o jednym z boków dłuższym od drugiego o 24 cm. Suma wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu ma być równa 480 cm.

Napisz wzór funkcji wyrażającej całkowite pole zewnętrznej powierzchni kartonu, w zależności od długości krótszej krawędzi jego podstawy. Podaj dziedzinę funkcji .
Oblicz jakie powinny być wymiary tego kartonu tak, aby łączne pole powierzchni jego ścian było największe możliwe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy prostopadłościan.

ZINFO-FIGURE

Z warunku na sumę długości wszystkich krawędzi otrzymujemy

4(x + (x + 24) + H ) = 4 80 / : 4 2x + H = 96 ⇒ H = 96 − 2x.

Liczymy pole powierzchni całkowitej

$P(x) = 2x(x + 24) + 2xH + 2(x + 2 4)H = [ 2 ] = 2 x + 24x + (2x + 24)H = [ 2 ] = 2 x + 24x + (2x + 24)(96 − 2x) = ( ) = 2 x 2 + 2 4x+ 192x − 4x 2 + 2 304− 48x = ( ) = 2 − 3x 2 + 168x + 2304 .$

Oczywiście musi być oraz

$H = 96 − 2x > 0 ⇐ ⇒ x < 48.$

Dziedziną otrzymanej funkcji jest więc przedział .
Odpowiedź: , dziedzina:
Musimy znaleźć największą wartość funkcji . Jest to trójmian kwadratowy o ujemnym współczynniku przy najwyższej potędze, więc jego wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Największą wartość pola otrzymamy zatem w wierzchołku, czyli dla

$−b − 336 x = -2a-= −-12--= 28.$

Pozostałe krawędzie mają wtedy długości

$x + 24 = 52 H = 96 − 2x = 40.$

Odpowiedź: Podstawa: , wysokość: 40 cm.