Zadanie nr 8124674

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 27, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy 1:3 oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 52. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a,3a,b długości krawędzi prostopadłościanu.

Z podanej objętości mamy

27 = a ⋅3a⋅ b ⇒ b = -9-. a 2

Zapiszmy jeszcze warunek z sumą długości wszystkich krawędzi mniejszą od 52.

52 > 4(3a + a + b) / : 4 9 4a 3 + 9 13 > 4a + b = 4a+ -2-= ----2--- / ⋅a2 3 2 a a 0 > 4a − 13a + 9.

Aby rozwiązać tę nierówność musimy najpierw rozłożyć prawą stronę na czynniki. Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków prawej strony jest a = 1 . Dzielimy więc ten wielomian przez a− 1 . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 2 2 4a − 13a + 9 = 4a − 4a − 9a + 9 = 4a (a− 1)− 9(a − 1) = = 4a2(a − 1) − 9(a + 1)(a − 1) = (a − 1)(4a 2 − 9a − 9).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

2 4a − 9a − 9 = 0 Δ = 81+ 144 = 2 25 = 152 a = 9-−-1-5 = − 6-= − 3- lub a = 9+--15-= 3. 8 8 4 8

Mamy zatem nierówność

( 3) 0 > 4(a− 1) a+ -- (a− 3 ) ( ) 4 3 a ∈ − ∞ ,− -- ∪ (1,3). 4

Ponieważ interesują nas tylko dodatnie wartości , mamy stąd a ∈ (1,3) .

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

( ) ( ) Pc = 2(3a 2 + ab + 3ab ) = 2(3a2 + 4ab) = 2 3a2 + 36- = 6 a2 + 12- . a a

Dziedziną tej funkcji jest przedział a ∈ (1,3) .

Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji 2 12 f (a) = a + -a określonej dla a ∈ (1,3) . Liczymy pochodną

( 3 ) ′ 12- 2a-3 −-1-2 2--a--−-6- f (a) = 2a − a2 = a2 = a2 .

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla √ -- a ∈ (1, 3 6) i dodatnia dla √3-- a ∈ ( 6,3 ) . To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale √3-- (1, 6⟩ i rosnąca w przedziale √3-- ⟨ 6,3) . Najmniejsze pole otrzymamy więc dla √3-- a = 6 . Pozostałe krawędzie prostopadłościanu mają wtedy długości √ -- 3a = 3 3 6 i