Zadanie nr 8334532

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości . Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

Wyznacz objętość drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej .
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Oblicz tę wartość , dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Rozwiązanie

Wszystkie listewki mają ten sam przekrój o polu , więc wystarczy ustalić jaka jest ich łączna długość. Są 4 pionowe długości 6, cztery długości (skośne na rysunku) i 4 długości (poziome na rysunku). Ich łączna długość jest równa
$4(6 + 6 − 2x + 10 − 4x ) = 4(22 − 6x) = 8(11− 3x)$

i objętość całego szkieletu jest równa

$2 V (x) = 8(11 − 3x )x .$

Odpowiedź:
Wymiary szkieletu przedstawionego na rysunku muszą spełniać nierówności
$( |{ x > 0 |( 6 > 2x ⇐ ⇒ x < 3 10− 2x > 2x ⇐ ⇒ x < 52.$

Dziedziną funkcji jest więc przedział .
Odpowiedź:
Liczymy pochodną funkcji
$2 2 3 f(x) = (11 − 3x )x = 11x( − 3x ) ′ 2 22 f (x) = 22x − 9x = − 9x x− --- . 9$

Widzimy teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale . To oznacza, że funkcja (a więc też funkcja ) rośnie w przedziale i maleje w przedziale . W takim razie największą objętość szkieletu otrzymamy dla i jest ona równa

$( ) ( ) V 22- = 8 11− 22- ⋅ 484-= 8 ⋅ 11-⋅ 48-4 = 42-592 9 3 81 3 81 2 43$

Odpowiedź: