/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 8386531

W ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H wpisano sześcian tak, że cztery jego wierzchołki należą do krawędzi bocznych ostrosłupa, a cztery pozostałe należą do płaszczyzny jego podstawy. Oblicz dla jakiej długości krawędzi podstawy ostrosłupa stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu jest najmniejszy możliwy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa, a przez x długość krawędzi sześcianu. Patrzymy teraz na przekrój ostrosłupa płaszczyzną DBS i korzystamy z podobieństwa trójkątów DKL i DMS .

-DK-- -LK- DM = SM a√ 2 x√ 2 --2--−√--2-- -x a-2- = H 2 a-−-x- -x -aH--- a = H ⇒ aH − xH = ax ⇒ x = a + H .

Stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu jest więc równy

13a2H-- 1- --a2H--- 1- (a-+-H-)3 1- a3 +-3a2H-+--3aH-2 +-H-3 x 3 = 3 ⋅(aH )3 = 3 ⋅ aH 2 = 3 ⋅ aH 2 = a+H- 1 (( a ) 2 a H ) = -- -- + 3 ⋅-- + 3 + -- . 3 H H a

Widać teraz, że możemy podstawić t = a- H – dzięki temu mamy jedną literkę, a nie dwie. Wystarczy teraz wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji

1 f(t) = t2 + 3t+ 3 + -- t

określonej dla t ∈ (0 ,+∞ ) . Liczymy pochodną

1 2t3 + 3t2 − 1 f′(t) = 2t+ 3− -2 = -------2-----. t t

Szukamy miejsc zerowych licznika – jednym z nich jest 1 t = 2 . Dzielimy teraz wielomian w liczniku przez (2t− 1) . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 2 2t + 3t − 1 = (2t − t )+ (4t − 1) = t(2t − 1) + (2t− 1)(2t+ 1) = = (2t − 1)(t2 + 2t+ 1) = (2t− 1)(t+ 1)2.

To oznacza, że pochodna jest ujemna dla ( ) t ∈ 0, 12 i nieujemna dla ( ) t ∈ 12,+ ∞ . W takim razie funkcja y = f (t)) w t = 12 osiąga minimum globalne. Mamy wtedy

1- a- H- 2 = t = H ⇒ a = 2 .

 
Odpowiedź: H- 2

Wersja PDF