/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 9289240

W kulę o promieniu długości wpisano walec o największej objętości. Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości tego walca.

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.

Liczymy objętość walca.

V = πr 2H .

Mamy ponadto

1 (2r)2 + H 2 = (2R )2 ⇒ r2 = R 2 − -H 2. 4

Podstawiamy to do wzoru na objętość

( 1 ) 1 V = π R 2 − -H 2 H = -π (4R2H − H 3). 4 4

Pozostało wyznaczyć największą wartość funkcji 2 3 f (H ) = 4R H − H na przedziale (0 ,2R) . Liczymy pochodną

( ) ( √ -- ) ( √ -- ) ′ 2 2 4- 2 2 2--3- 2--3- f (H ) = 4R − 3H = 3 3R − H = − 3 H − 3 R H + 3 R .

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, zatem w przedziale ( 2√-3 ) 0, 3 R pochodna jest dodatnia, czyli rośnie, a w przedziale ( - ) 2√3- 3 ,2R pochodna jest ujemna, czyli funkcja maleje. Największa wartość jest więc przyjmowana dla 2√3- H = 3 R . Mamy wtedy