/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 9937560

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 216. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy krawędź podstawy przez a , a wysokość graniastosłupa przez H , to suma wszystkich krawędzi jest równa

2 16 = 12a + 6H ⇒ H = 36− 2a.

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

Pb(a) = 6 ⋅aH = 6a (36− 2a) = − 12a(a − 18 ).

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie a = 0+-18-= 9 2 . Zatem największe pole boczne otrzymamy dla a = 9 i H = 36 − 2a = 1 8 .  
Odpowiedź: Krawędź podstawy: 9, wysokość: 18

Wersja PDF