/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 1659539

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.

  • Wykaż, że objętość V każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

     √ -- --3- 2 3 V (R ) = 4 ⋅(6R − R ).
  • Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.


ZINFO-FIGURE


  • Jeżeli a długością krawędzi podstawy ostrosłupa, to

     √ -- √ -- 2 2 a 3 a 3 R = --CE = --⋅ -----= -----. 3 3 2 3

    Stąd

     3 √ -- a = √--R = 3R 3

    i objętość ostrosłupa jest równa

     √ -- √ -- √ -- 1 a2 3 1 3 3R2 3 V (R) = -⋅ ------⋅H = --⋅------- ⋅(6 − R ) = ----(6R2 − R 3). 3 4 3 4 4
  • Zauważmy, że dziedziną funkcji V (R ) jest przedział (0,6) . Liczymy jej pochodną

     √ -- √ -- ′ --3- 2 3--3- V (R ) = 4 (1 2R − 3R ) = − 4 R(R − 4).

    Widać teraz, że pochodna jest dodatnia na przedziale (0,4) i ujemna na przedziale (4,6) . To oznacza, ze funkcja V rośnie na przedziale (0,4] i maleje na przedziale [4,6 ) . Największą wartość funkcji V otrzymamy więc dla R = 4 . Objętość jest wtedy równa

     √ -- √ -- √ -- --3- 2 3 --3- --3- √ -- V (4) = 4 (6R − R ) = 4 (96− 64) = 4 ⋅3 2 = 8 3.

     
    Odpowiedź: R = 4 ,  √ -- Vmax = 8 3

Wersja PDF
spinner