Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1799088

Częścią wspólną płaszczyzny m i kuli k o środku S i promieniu R jest koło o . Jaka musi być odległość płaszczyzny m od środka kuli S , aby stożek o podstawie o i wierzchołku S miał największą możliwą objętość? Oblicz tę maksymalną objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.


PIC


Jeżeli oznaczymy przez x odległość płaszczyzny m od środka kuli, a przez r promień podstawy stożka, to

r2 = R2 − x2

i objętość stożka jest równa

V = 1πr 2 ⋅x = 1π (R 2 − x 2)x. 3 3

Musimy zatem wyznaczyć największą możliwą wartość funkcji

f(x) = (R 2 − x2)x = R 2x − x3

określonej na przedziale x ∈ (0,R ) . Liczymy pochodną

 ( 2 ) ( ) ( ) ′ 2 2 2 R-- -R-- R--- f (x) = R − 3x = − 3 x − 3 = − 3 x− √ 3 x + √ 3 .

Wykresem pochodnej jest parabola o ramionach skierowanych w dół, zatem w przedziale ( ) 0 , R√- 3 pochodna jest dodatnia, czyli f rośnie, a w przedziale ( ) √R-,R 3 pochodna jest ujemna, czyli funkcja maleje. Największa wartość jest więc przyjmowana dla  √ - x = R√--= R3-3 3 . Mamy wtedy

 √ -- √ -- √ -- 1 π ( R 2) R 3 π 2 R 3 2 3 V = -π (R 2 − x 2)x =-- R 2 − --- ⋅----- = --⋅--R2 ⋅----- = ----πR 3. 3 3 3 3 3 3 3 27

 
Odpowiedź: Odległość:  √ - R--3 3 , objętość:  √ - 2273πR 3 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!