Zadanie nr 2007335
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Rozwiązanie
Szkicujemy stożek
Jeżeli za parametr przyjmiemy promień podstawy stożka, to mamy

oraz

Objętość stożka jest więc równa

Wyznaczenie największej wartości objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

Dziedziną tej funkcji jest przedział (bo musi być
). Liczymy pochodną

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale
. To oznacza, że funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. W takim razie największą wartość objętość otrzymamy dla
.
Wysokość dla jest równa

a objętość wynosi

Odpowiedź: