Zadanie nr 2007335

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy stożek

Jeżeli za parametr przyjmiemy promień podstawy stożka, to mamy

2r+ 2l = 20 ⇒ l = 10 − r

oraz

∘ ------- ∘ -------------- ∘ ------------------- √ ---------- h = l2 − r2 = (10− r)2 − r2 = 100 − 20r + r2 − r2 = 100 − 20r.

Objętość stożka jest więc równa

√ --- ∘ -------- V (r) = 1πr 2 ⋅ h = 1-πr2√ 100-−-2-0r =--20-π 5r4 − r5. 3 3 3

Wyznaczenie największej wartości objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

f(r) = 5r4 − r5.

Dziedziną tej funkcji jest przedział r ∈ (0,5) (bo musi być h 2 = 100 − 20r > 0 ). Liczymy pochodną

′ 3 4 3 f (r) = 20r − 5r = 5r (4 − r).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale (0,4) i ujemna w przedziale (4 ,5 ) . To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale (0,4⟩ i maleje w przedziale ⟨4,5) . W takim razie największą wartość objętość otrzymamy dla r = 4 .