Zadanie nr 3134401
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o ramionach długości 6. Oblicz cosinus kąta między ramionami tego z tych trójkątów, dla którego objętość bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dokoła prostej zawierającej jego podstawę jest największa możliwa. Oblicz tę największą objętość.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
W wyniku opisanego obrotu trójkąta równoramiennego otrzymamy bryłę obrotową składającą się z dwóch stożków o promieniu podstawy
równym wysokości
trójkąta
i wysokości
równej połowie podstawy
. W szczególności mamy

i objętość otrzymanej bryły jest równa

Wyznaczenie bryły o największej objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

Liczymy pochodną tej funkcji

Dziedziną funkcji jest przedział
i w tym przedziale pochodna ma jedno miejsce zerowe
. Ponadto, na lewo od tego miejsca zerowego pochodna jest dodatnia, a na prawo jest ujemna. To oznacza, że funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. W takim razie największą objętość bryły otrzymamy dla
.

Pozostało obliczyć cosinus kąta między ramionami trójkąta – piszemy twierdzenie cosinusów w tym trójkącie.

Odpowiedź: ,