Zadanie nr 3134401

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o ramionach długości 6. Oblicz cosinus kąta między ramionami tego z tych trójkątów, dla którego objętość bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dokoła prostej zawierającej jego podstawę jest największa możliwa. Oblicz tę największą objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

W wyniku opisanego obrotu trójkąta równoramiennego ABC otrzymamy bryłę obrotową składającą się z dwóch stożków o promieniu podstawy równym wysokości trójkąta ABC i wysokości równej połowie podstawy . W szczególności mamy

∘ --2---2 ∘ ------2- r = 6 − a = 36 − a

i objętość otrzymanej bryły jest równa

1 2 2 2 V (a) = 2⋅ -πr a = --π(36 − a )a . 3 3

Wyznaczenie bryły o największej objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

2 3 f(a) = (36− a )a = 36a − a .

Liczymy pochodną tej funkcji

′ 2 2 √ -- √ -- f (a) = 36− 3a = − 3(a − 12) = − 3(a − 2 3)(a+ 2 3).

Dziedziną funkcji jest przedział (0 ,6 ) i w tym przedziale pochodna ma jedno miejsce zerowe √ -- a = 2 3 . Ponadto, na lewo od tego miejsca zerowego pochodna jest dodatnia, a na prawo jest ujemna. To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale ( √ -⟩ 0,2 3 i maleje w przedziale ⟨ ) √ -- 2 3,6 . W takim razie największą objętość bryły otrzymamy dla .