Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3134401

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o ramionach długości 6. Oblicz cosinus kąta między ramionami tego z tych trójkątów, dla którego objętość bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dokoła prostej zawierającej jego podstawę jest największa możliwa. Oblicz tę największą objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


W wyniku opisanego obrotu trójkąta równoramiennego ABC otrzymamy bryłę obrotową składającą się z dwóch stożków o promieniu podstawy r równym wysokości AD trójkąta ABC i wysokości a równej połowie podstawy BC . W szczególności mamy

 ∘ --2---2 ∘ ------2- r = 6 − a = 36 − a

i objętość otrzymanej bryły jest równa

 1 2 2 2 V (a) = 2⋅ -πr a = --π(36 − a )a . 3 3

Wyznaczenie bryły o największej objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

 2 3 f(a) = (36− a )a = 36a − a .

Liczymy pochodną tej funkcji

 ′ 2 2 √ -- √ -- f (a) = 36− 3a = − 3(a − 12) = − 3(a − 2 3)(a+ 2 3).

Dziedziną funkcji f jest przedział (0 ,6 ) i w tym przedziale pochodna ma jedno miejsce zerowe  √ -- a = 2 3 . Ponadto, na lewo od tego miejsca zerowego pochodna jest dodatnia, a na prawo jest ujemna. To oznacza, że funkcja f rośnie w przedziale ( √ -⟩ 0,2 3 i maleje w przedziale ⟨ ) √ -- 2 3,6 . W takim razie największą objętość bryły otrzymamy dla  √ -- a = 2 3 .

 ( ) V 2√ 3- = 2-π(3 6− a2)a = 2π (36 − 12) ⋅2√ 3-= 32√ 3π . 3 3

Pozostało obliczyć cosinus kąta między ramionami trójkąta ABC – piszemy twierdzenie cosinusów w tym trójkącie.

 2 2 2 BC = AB + AC − 2AB ⋅AC cos α 2 7-2−-4-8 2-4 1- 4a = 36 + 36 − 72 cosα ⇒ cos α = 72 = 7 2 = 3 .

 
Odpowiedź:  1 cosα = 3 ,  √ -- Vmax = 32 3π

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!