/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 3158140

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt o obwodzie 40. Podaj promień podstawy i wysokość stożka o największej objętości. Oblicz jego objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy stożek

PIC

Jeżeli za parametr przyjmiemy promień podstawy r stożka, to mamy

2r+ 2l = 40 ⇒ l = 20 − r

oraz

∘ ------- ∘ -------------- ∘ ------------------- √ ---------- h = l2 − r2 = (20 − r)2 − r2 = 40 0− 4 0r+ r2 − r2 = 2 1 00− 10r.

Objętość stożka jest więc równa

√ --- ∘ --------- V (r) = 1πr 2 ⋅h = 1πr 2 ⋅2√ 1-00−-10r = 2--1-0π 10r4 − r5. 3 3 3

Wyznaczenie największej wartości objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

4 5 f(r) = 10r − r .

Dziedziną tej funkcji jest przedział r ∈ (0,10) (bo musi być 2 h = 4(100 − 10r) > 0 ). Liczymy pochodną

f′(r) = 40r3 − 5r4 = 5r3(8 − r).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale (0,8) i ujemna w przedziale (8 ,10) . To oznacza, że funkcja f rośnie w przedziale (0,8⟩ i maleje w przedziale ⟨8,10) . W takim razie największą wartość objętość otrzymamy dla r = 8 .

Wysokość dla r = 8 jest równa

√ --------- √ --- √ -- h = 2 100 − 8 0 = 2 20 = 4 5,

a objętość wynosi

-- √ -- V(r) = 1πr 2 ⋅h = 1π ⋅ 64⋅4 √ 5 = 256---5π . 3 3 3

 
Odpowiedź: √ -- √ - r = 8, h = 4 5 ,V = 256--5π 3

Wersja PDF