Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3682797

Romb o boku długości a obraca się dokoła jednej z przekątnych. Wyznacz pole tego spośród takich rombów, dla którego objętość otrzymanej bryły jest największa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy bryłę, którą otrzymamy obracając romb.


PIC


Widać, że są to dwa stożki sklejone podstawami. Jeżeli oznaczymy promień podstawy utworzonych stożków przez r , a ich wysokość przez h , to mamy

 ∘ -------- r = a2 − h2

i objętość otrzymanej bryły jest równa

 1- 2 2- 2 2 V (h ) = 2⋅ 3πr h = 3 π(a − h )h .

Wyznaczenie bryły o największej objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

f(h ) = (a2 − h2)h = a2h − h3.

Liczymy pochodną tej funkcji

 ( a2 ) ( a ) ( a ) f ′(h) = a2 − 3h 2 = − 3 h2 − --- = −3 h− √--- h + √--- 3 3 3

Dziedziną funkcji f jest przedział (0,a) i w tym przedziale pochodna ma jedno miejsce zerowe h = √a- 3 . Ponadto na lewo od tego miejsca zerowego pochodna jest dodatnia, a na prawo jest ujemna. To oznacza, że funkcja f rośnie w przedziale ⟨ -a-⟩ 0,√ 3 i maleje w przedziale ⟨ -a- ⟩ √3,a . W takim razie największą objętość bryły otrzymamy dla h = √a- 3 . Wtedy

 ∘ -------- ∘ -- ∘ -2----2- 2 a 2 2 r = a − h = a − -3-= a 3.

Pole powierzchni rombu dla którego otrzymujemy tę maksymalną objętość jest równe (korzystamy ze wzoru na pole rombu z przekątnymi)

 1 ∘ 2- a 2 √ 2- P = --⋅2r ⋅2h = 2rh = 2 ⋅a --⋅ √---= -----a2. 2 3 3 3

 
Odpowiedź:  √ - 2--2a2 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!