Zadanie nr 3828739
Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa , a jedna z jego ścian na pole powierzchni trzy razy większe od innej ściany tego prostopadłościanu. Oblicz jaka jest powierzchnia całkowita tego prostopadłościanu, jeżeli jego objętość jest największa możliwa.
Rozwiązanie
Szkicujemy prostopadłościan.
Jeżeli oznaczymy długości krawędzi prostopadłościanu w ten sposób, że ściana o krawędziach jest trzy razy większa od ściany o krawędziach
, to mamy

Ponadto z podanej sumy wszystkich krawędzi mamy

Objętość prostopadłościanu jest więc równa

Dziedziną tej funkcji jest przedział . Liczymy pochodną.

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale
. To oznacza, że funkcja
największą wartość przyjmuje dla
. Mamy wtedy
i
.
Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej

Odpowiedź: