/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 4036201

Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek).

PIC

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy długość boku każdego z odciętych kwadratów przez x , to po złożeniu otrzymamy pudełko, które w podstawie ma prostokąt o bokach długości 80− 2x i 50 − 2x .

PIC

Wysokość tego pudełka będzie równa x . Musimy zatem znaleźć największą wartość funkcji

V (x) = (80 − 2x)(50 − 2x )x = 4(40 − x)(2 5− x )x = 4(100 0x− 65x2 + x3)

w przedziale (0,25) (takie wartości może przyjmować x ). Liczymy pochodną funkcji w nawiasie.

f ′(x ) = 1000 − 130x + 3x2.

Szukamy teraz miejsc zerowych pochodnej.

Δ = 1302 − 4 ⋅3⋅ 1000 = 1 6900 − 12000 = 4900 = 702 130 − 70 130 + 70 200 100 x1 = ---------= 10, x2 = ---------= ----= ----> 25. 6 6 6 3

Wykresem pochodnej jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc pochodna przechodząc przez punkt x = 10 zmienia znak z dodatniego na ujemny. To oznacza, że funkcja V (x) = 4f(x ) jest rosnąca na lewo od x = 10 i malejąca na prawo od tego punktu. W takim razie dla x = 10 otrzymamy największą objętość pudełka. Objętość ta jest równa

V (10) = 4(4 0− x)(25− x)x = 4⋅30 ⋅15 ⋅10 = 18000.

 
Odpowiedź: Długość boku naroży: 10 cm, objętość: 18000 cm 3 .

Wersja PDF