Zadanie nr 4036201
Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek).
Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy długość boku każdego z odciętych kwadratów przez , to po złożeniu otrzymamy pudełko, które w podstawie ma prostokąt o bokach długości
i
.
Wysokość tego pudełka będzie równa . Musimy zatem znaleźć największą wartość funkcji
![V (x) = (80 − 2x)(50 − 2x )x = 4(40 − x)(2 5− x )x = 4(100 0x− 65x2 + x3)](https://img.zadania.info/zad/4036201/HzadR5x.gif)
w przedziale (takie wartości może przyjmować
). Liczymy pochodną funkcji w nawiasie.
![f ′(x ) = 1000 − 130x + 3x2.](https://img.zadania.info/zad/4036201/HzadR8x.gif)
Szukamy teraz miejsc zerowych pochodnej.
![Δ = 1302 − 4 ⋅3⋅ 1000 = 1 6900 − 12000 = 4900 = 702 130 − 70 130 + 70 200 100 x1 = ---------= 10, x2 = ---------= ----= ----> 25. 6 6 6 3](https://img.zadania.info/zad/4036201/HzadR9x.gif)
Wykresem pochodnej jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc pochodna przechodząc przez punkt zmienia znak z dodatniego na ujemny. To oznacza, że funkcja
jest rosnąca na lewo od
i malejąca na prawo od tego punktu. W takim razie dla
otrzymamy największą objętość pudełka. Objętość ta jest równa
![V (10) = 4(4 0− x)(25− x)x = 4⋅30 ⋅15 ⋅10 = 18000.](https://img.zadania.info/zad/4036201/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: Długość boku naroży: 10 cm, objętość: .