/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 4345491

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W kulę o promieniu długości R wpisano stożek o maksymalnej objętości. Oblicz objętość tego stożka.

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.

PIC

Oznaczmy wysokość i promień podstawy stożka przez H i r odpowiednio. Mamy wtedy

∘ ------------ ∘ -------- AC = b = AE 2 + CE 2 = r2 + H 2.

Spróbujemy teraz obliczyć promień podstawy stożka r w zależności od H i R . W tym celu korzystamy ze wzoru P = abc 4R trójkąta (inny sposób to skorzystać z twierdzenia sinusów: b sin∡A--= 2R ).

1 2r ⋅b⋅b 2R --⋅2r⋅H = PABC = -------- / ⋅--- 2 4R r 2RH = b 2.

Mamy zatem

2RH = b2 = r2 + H 2 ⇒ r2 = 2RH − H 2.

Objętość stożka jest więc równa

1- 2 1- 2 1- 2 3 V (H ) = 3πr ⋅H = 3π (2RH − H )H = 3 π(2RH − H ).

Wyrażenie to ma sens jeżeli H ∈ (0,2R ) . Aby ustalić dla jakiej wartości H objętość stożka jest największa obliczamy pochodną tej funkcji.

( ) ′ 1- 2 4- V (H ) = 3π (4RH − 3H ) = πH 3R − H .

Ponieważ pochodna jest dodatnia w przedziale ( ) 0, 4R 3 i ujemna w przedziale ( ) 4 R,2R 3 , funkcja V(H ) rośnie w pierwszym z tych przedziałów, a maleje w drugim. To oznacza, że największą wartość tej funkcji otrzymamy dla H = 43 R . Objętość jest wtedy równa

( ) ( ) V 4R = 1-π 2R ⋅ 16R 2 − 64-R3 = 1-π ⋅ 96-−-64-R3 = 32πR 3. 3 3 9 27 3 27 81

 
Odpowiedź: 32 3 81πR

Wersja PDF