Zadanie nr 4563286
Z kawałka blachy w kształcie sześciokąta foremnego o boku długości 60 cm robimy pudełko o sześciokątnym dnie (otwarte od góry) w następujący sposób: przy każdym wierzchołku odcinamy taki sam deltoid, tnąc w tej samej odległości od wierzchołka raz prostopadle do jednego, a drugi raz do drugiego boku, następnie zaginamy blachę wzdłuż przerywanych linii i lutujemy krawędzie (zobacz rysunek).
Oblicz długość krawędzi podstawy tego pudełka, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.
Rozwiązanie
Oznaczmy długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez , a jego wysokość przez
.
Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego to , więc
i trójkącie prostokątnym
mamy
![√ -- --h---- ∘ √ -- --3- 30− x = tg 60 = 3 ⇒ h = 2 (60− x). 2](https://img.zadania.info/zad/4563286/HzadR6x.gif)
Objętość pudełka jest więc równa
![-- -- x2√ 3 √ 3 9 V (x) = Pp ⋅h = 6⋅ ------⋅----(60− x) = --(60x2 − x3). 4 2 4](https://img.zadania.info/zad/4563286/HzadR7x.gif)
Dziedziną tej funkcji jest przedział . Liczymy pochodną funkcji w nawiasie.
![′ 2 f (x) = 120x − 3x = −3x (x − 40).](https://img.zadania.info/zad/4563286/HzadR9x.gif)
Wykresem pochodnej jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna przechodząc przez punkt zmienia znak z dodatniego na ujemny. To oznacza, że funkcja
jest rosnąca na lewo od
i malejąca na prawo od tego punktu. W takim razie dla
otrzymamy największą objętość pudełka. Objętość ta jest równa
![9 9 V (40) = --x2(60 − x) = -⋅ 402 ⋅2 0 = 72000 . 4 4](https://img.zadania.info/zad/4563286/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: Długość podstawy: 40 cm, objętość: .