Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4588495

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2. Oblicz długości krawędzi tego graniastosłupa, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy prostopadłościanu, a przez b długość jego wysokości.


PIC


Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

 2 2a + 4ab = 2 / : 2 a2 + 2ab = 1 1-−-a2 b = 2a .

Liczymy teraz objętość prostopadłościanu.

 2 2 1-−-a2 1−--a2 1- 3 V = a ⋅b = a ⋅ 2a = a⋅ 2 = 2 (a− a ).

Aby otrzymać największą objętość prostopadłościanu musimy więc wyznaczyć największą możliwą wartość funkcji f(a) = a − a3 określonej dla a ∈ (0,1) (a < 1 , bo musi być b > 0 ). Liczymy pochodną

 ( 1) ( 1 ) ( 1 ) f ′(a) = 1 − 3a 2 = − 3 a2 − -- = − 3 a − √--- a+ √--- = ( √ -) ( 3√ -) 3 3 3 3 = − 3 a− ---- a + ---- . 3 3

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla  ( √- ) -3- a ∈ 0, 3 i ujemna dla  ( √- ) a ∈ -3-,1 3 . To oznacza, że funkcja f jest rosnąca w przedziale ( √ -⟩ 0,--3 3 i malejąca w przedziale ⟨√ - ) --3,1 3 . Największą wartość objętości otrzymamy więc dla  √3- a = 3 . Wysokość graniastosłupa jest wtedy równa

 2 1− 1 2 √ -- b = 1−--a- = -√--3-= --3√- = √1--= --3. 2a 2-3- 2-3- 3 3 3 3

To oznacza, że otrzymany graniastosłup jest sześcianem i jego objętość jest równa

 ( √ -) 3 √ -- √ -- 3 --3- 3---3 --3- a = 3 = 2 7 = 9 .

 
Odpowiedź: Długości krawędzi: √3 √ 3 √ 3 3-, -3-,-3- , objętość: √ - --3 9 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!