Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4686427

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, w którym jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe 1. Jakie powinny być wymiary tego prostopadłościanu, aby jego objętość była największa? Oblicz tę największą objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez a i 2a długości krawędzi podstawy prostopadłościanu, a przez b długość jego wysokości.


PIC


Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

 2 2(2a + 2ab + ab) = 1 / : 2 2 1 2a + 3ab = -- 1 22 2 2-−-2a-- 1-−-4a-- b = 3a = 6a .

Liczymy teraz objętość prostopadłościanu.

 2 2 2 1−--4a-- 1-−-4a-- 1- 3 V = 2a ⋅a⋅b = 2a ⋅ 6a = a ⋅ 3 = 3(a − 4a ).

Aby otrzymać największą objętość prostopadłościanu musimy więc wyznaczyć największą możliwą wartość funkcji f(a) = a − 4a3 określonej dla  ( 1) a ∈ 0,2 ( 1 a < 2 , bo musi być b > 0 ). Liczymy pochodną

 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) f′(a) = 1 − 12a2 = − 1 2 a2 − --- = − 12 a− √---- a + √---- = 12 ( 12 ) ( 12 ) ( ) ( ) √ -- √ -- = − 12 a − --1√--- a+ -√1-- = − 1 2 a− --3- a+ --3- . 2 3 2 3 6 6

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla  ( √3-) a ∈ 0, 6 i ujemna dla  ( √3- 1) a ∈ 6 ,2 . To oznacza, że funkcja f jest rosnąca w przedziale ( √3⟩ 0, 6 i malejąca w przedziale ⟨√-3 1) 6 ,2 . Największą wartość objętości otrzymamy więc dla  √- -3- a = 6 . Pozostałe krawędzie prostopadłościanu mają wtedy długości  √- 2a = -33- i

 2 √ -- 1−--4a2- 1-−-4-⋅112 -3-- -2--- 2--3- b = 6a = √ 3- = √ 3-= 3√ 3-= 9 .

Objętość dla tych długości krawędzi jest równa

 √ -- √ -- 1 2 3 3 V = 2a2b = 2⋅ --⋅ -----= ---. 12 9 27

 
Odpowiedź: Długości krawędzi: √3- √-3 2√-3 6 , 3 , 9 , objętość: √ - --3 27 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!