Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4768500

Jaką największą objętość ma walec wpisany w kulę o średnicy długości 12 cm?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.


PIC


Liczymy objętość walca.

V = πr 2H .

Mamy ponadto

 1 (2r)2 + H 2 = 122 ⇒ r2 = 36 − --H 2. 4

Podstawiamy to do wzoru na objętość

 ( 1 ) 1 V = π 3 6− -H 2 H = -π (144H − H 3). 4 4

Pozostało wyznaczyć największą wartość funkcji  3 f (H ) = 144H − H na przedziale (0 ,12) . Liczymy pochodną

 √ -- √ -- f′(H ) = 144 − 3H 2 = 3(48 − H 2) = −3 (H − 4 3)(H + 4 3).

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, zatem w przedziale  √ -- (0 ,4 3) pochodna jest dodatnia, czyli f rośnie, a w przedziale  √ -- (4 3 ,12) pochodna jest ujemna, czyli funkcja maleje. Największa wartość jest więc przyjmowana dla  √ -- H = 4 3 . Mamy wtedy

 ( ) V = π 36 − 1H 2 H = π(36 − 1 2)4√ 3-= 96π √ 3. 4

 
Odpowiedź: 96π √ 3-cm 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!