Zadanie nr 5611662
Rozpatrujemy wszystkie walce, których przekrojem osiowym jest prostokąt, w którym suma długości przekątnej i jednego boku jest równa 10. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego walca.
Rozwiązanie
Szkicujemy walec
Zauważmy, że z podanych informacji nie wynika, który bok prostokąta bierzemy pod uwagę, więc rozważymy dwie sytuacje.
Przyjmijmy najpierw, że i za parametr przyjmijmy
. Mamy wtedy
![--------------- ∘ -2----2- ∘ 2 2 √ ---------- √ -------- 2r = d − h = (10 − h ) − h = 100 − 20h ⇒ r = 25 − 5h.](https://img.zadania.info/zad/5611662/HzadR3x.gif)
Objętość walca jest więc równa
![2 V (h) = πr h = π (25 − 5h)h = 5π(5 − h )h, h ∈ (0,5).](https://img.zadania.info/zad/5611662/HzadR4x.gif)
Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc wartość największą objętości otrzymamy dla (dokładnie w połowie między pierwiastkami). Promień podstawy walca jest wtedy równy
![∘ -------- ∘ ------ ∘ -- √ -- √ -------- 2 5 1 1 5 2 r = 25 − 5h = 25 − --- = 5 1− --= 5 --= ----. 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/5611662/HzadR6x.gif)
Objętość jest wtedy równa
![( 5 ) 5 5 1 25 V -- = 5π ⋅--⋅ --= ----π = 31,25π . 2 2 2 4](https://img.zadania.info/zad/5611662/HzadR7x.gif)
Teraz zajmijmy się drugą sytuacją, gdy . Tym razem za parametr przyjmijmy
. Mamy wtedy
![∘ ---------- ∘ ---------------- h = d2 − (2r)2 = (1 0− 2r)2 − 4r2 = √ 100−--40r.](https://img.zadania.info/zad/5611662/HzadR10x.gif)
Objętość walca jest równa
![2 2√ ---------- √ -- ∘ --------- V (r) = πr h = πr 1 00− 40r = 2 5π 5r 4 − 2r5.](https://img.zadania.info/zad/5611662/HzadR11x.gif)
Wyznaczenie największej wartości objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji
![f(r) = 5r4 − 2r5.](https://img.zadania.info/zad/5611662/HzadR12x.gif)
Dziedziną tej funkcji jest przedział (bo musi być
). Liczymy pochodną
![′ 3 4 3 f (r) = 20r − 10r = 10r (2− r).](https://img.zadania.info/zad/5611662/HzadR15x.gif)
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale
. To oznacza, że funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. W takim razie największą wartość objętość otrzymamy dla
.
Wysokość dla jest równa
![√ --------- √ --- √ -- h = 100 − 8 0 = 20 = 2 5,](https://img.zadania.info/zad/5611662/HzadR23x.gif)
a objętość wynosi
![√ -- √ -- V(r) = πr 2 ⋅ h = π ⋅4 ⋅2 5 = 8 5π ≈ 17,9π .](https://img.zadania.info/zad/5611662/HzadR24x.gif)
Objętość ta jest mniejsza niż w pierwszym przypadku, więc walcem o największej objętości jest walec o promieniu podstawy , wysokości
i objętości
.
Odpowiedź: