/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 5615786

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 6.

  • Wyznacz zależność objętości V ostrosłupa od jego krawędzi podstawy a i podaj dziedzinę funkcji V (a) .

  • Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tą największą objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.


ZINFO-FIGURE


  • Wiemy, że suma wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 6, więc

    6 = 3a + 3CD ⇒ CD = 2− a.

    Będziemy chcieli napisać twierdzenie Pitagorasa w trójkącie CSD , ale zanim to zrobimy zauważmy, że

     √ -- √ -- CS = 2CE = 2-⋅ a-3-= a--3-. 3 3 2 3

    Stąd

     ∘ -------------- ∘ ------------ a2 H = CD 2 − CS 2 = (2 − a)2 − ---= ∘ ------------------ ∘ -----3------- √ -- 2 1 2 2 2 2∘ -2---------- = 4 − 4a + a − 3a = 3a − 4a + 4 = √--- a − 6a + 6. 3

    Objętość ostrosłupa jest więc równa

     1 a2√ 3- a2√ 3- √ 2∘ ------------ V(a ) = --⋅------⋅H = ------⋅√--- a2 − 6a+ 6 = 3 4 12 3 √ 2- ∘ --------------- = ----⋅ a6 − 6a5 + 6a4. 1 2

    Ustalmy jeszcze jaka jest dziedzina tej funkcji. Oczywiście a > 0 . Ponadto,

     CS < CD a√ 3- -----< 2− a 3√ -- 3 + 3 3 a ⋅---3----< 2 / ⋅----√--- 3 + 3 √ -- ---6---- 6(3−----3)- √ -- a < √ --= 9 − 3 = 3 − 3. 3+ 3

    Dziedziną funkcji V jest więc przedział  √ -- (0,3 − 3) .  
    Odpowiedź:  √-2 √ -6-----5-----4- V (a) = 12 ⋅ a − 6a + 6a dla  √ -- a ∈ (0,3 − 3)

  • Ponieważ funkcja  √ -- x ↦→ x jest funkcją rosnącą, wystarczy wyznaczyć największą wartość funkcji

    f(a ) = a6 − 6a5 + 6a4

    określonej dla  √ -- a ∈ (0,3− 3) . Liczymy pochodną

    f′(a) = 6a 5 − 30a 4 + 2 4a3 = 6a3(a2 − 5a + 4).

    Rozłóżmy jeszcze trójmian w nawiasie.

    Δ = 25 − 16 = 9 a = 5-−-3-= 1 lub a = 5-+-3-= 4. 2 2

    Zatem

    f ′(a) = 6a 3(a− 1)(a− 4)

    i pochodna jest dodatnia na przedziale (0,1) i ujemna na przedziale  √ -- (1,3 − 3) . To oznacza, ze funkcja f (a więc też funkcja V ) rośnie na przedziale (0,1] i maleje na przedziale  √ -- [1,3 − 3) . Największą wartość funkcji f (a więc też funkcji V ) otrzymamy więc dla a = 1 . Objętość jest wtedy równa

     √ -- √ -- --2- √ ---------- --2- V (1) = 12 ⋅ 1 − 6 + 6 = 12 .

     
    Odpowiedź: a = 1 ,  √2 Vmax = 12-

Wersja PDF
spinner