Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6052394

Mówimy, że walec jest wpisany w graniastosłup, jeżeli podstawy walca są zawarte w podstawach graniastosłupa, a powierzchnia boczna walca jest styczna do każdej ze ścian bocznych graniastosłupa (zobacz rysunek).


PIC


Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne takie, że suma długości promienia i wysokości walca wpisanego w ten graniastosłup jest równa K . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez r i H promień i wysokość walca, to wiemy, że

r+ H = K ⇒ H = K − r.

Oznaczmy ponadto przez a długość krawędzi podstawy graniastosłupa.


PIC


Ponieważ podstawa walca jest kołem wpisanym w sześciokąt foremny w podstawie graniastosłupa, mamy

 √ -- √ -- a--3- √ -- --2- 2--3- 2r = 2⋅ 2 = a 3 ⇒ a = √ 3r = 3 r.

Objętość graniastosłupa jest więc równa

 2√ -- √ -- ( √ --) 2 V = 6⋅ a---3-⋅H = 3--3-⋅ 2---3r ⋅(K − r) = 4 2 3 √ -- 3--3- 4- 2 √ -- 2 3 = 2 ⋅3 r ⋅(K − r) = 2 3⋅ (Kr − r ).

Musimy teraz sprawdzić dla jakiej wartości r funkcja

f(r) = Kr 2 − r3,

określona dla r ∈ (0,K ) , przyjmuje największą możliwą wartość. Liczymy pochodną

 ( ) ′ 2 2K f (r) = 2Kr − 3r = − 3r r− --- . 3

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( 2K-) 0, 3 i ujemna w przedziale (2K- ) 3 ,K . To oznacza, że funkcja f rośnie w przedziale ( 2K⟩ 0, 3 i maleje w przedziale ⟨ 2K ) 3-,K . Największą objętość otrzymamy więc dla r = 2K 3 . Wtedy

H = K − r = K − 2-K = 1K 3 3 2 √ 3- 2√ 3- 2 4√ 3- a = -----r = -----⋅ -K = -----K. 3 3 3 9

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest więc równe

 2√ -- Pc = Pp + Pb = 2⋅6 ⋅ a---3+ 6⋅a ⋅H = 4 √ -- ( √ -- ) 2 √ -- √ -- √ -- = 3 3 ⋅ 4--3-K + 6 ⋅ 4-3K ⋅ 1K = 3 3 ⋅ 16-K2 + 8--3K 2 = 9 9 3 27 9 √ -- √ -- = 2-4--3K 2 = 8--3-K2. 9 3

 
Odpowiedź: 8√-3 2 3 K

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!