Zadanie nr 6052394
Mówimy, że walec jest wpisany w graniastosłup, jeżeli podstawy walca są zawarte w podstawach graniastosłupa, a powierzchnia boczna walca jest styczna do każdej ze ścian bocznych graniastosłupa (zobacz rysunek).
Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne takie, że suma długości promienia i wysokości walca wpisanego w ten graniastosłup jest równa . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy przez i
promień i wysokość walca, to wiemy, że
![r+ H = K ⇒ H = K − r.](https://img.zadania.info/zad/6052394/HzadR2x.gif)
Oznaczmy ponadto przez długość krawędzi podstawy graniastosłupa.
Ponieważ podstawa walca jest kołem wpisanym w sześciokąt foremny w podstawie graniastosłupa, mamy
![√ -- √ -- a--3- √ -- --2- 2--3- 2r = 2⋅ 2 = a 3 ⇒ a = √ 3r = 3 r.](https://img.zadania.info/zad/6052394/HzadR5x.gif)
Objętość graniastosłupa jest więc równa
![2√ -- √ -- ( √ --) 2 V = 6⋅ a---3-⋅H = 3--3-⋅ 2---3r ⋅(K − r) = 4 2 3 √ -- 3--3- 4- 2 √ -- 2 3 = 2 ⋅3 r ⋅(K − r) = 2 3⋅ (Kr − r ).](https://img.zadania.info/zad/6052394/HzadR6x.gif)
Musimy teraz sprawdzić dla jakiej wartości funkcja
![f(r) = Kr 2 − r3,](https://img.zadania.info/zad/6052394/HzadR8x.gif)
określona dla , przyjmuje największą możliwą wartość. Liczymy pochodną
![( ) ′ 2 2K f (r) = 2Kr − 3r = − 3r r− --- . 3](https://img.zadania.info/zad/6052394/HzadR10x.gif)
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale
. To oznacza, że funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. Największą objętość otrzymamy więc dla
. Wtedy
![H = K − r = K − 2-K = 1K 3 3 2 √ 3- 2√ 3- 2 4√ 3- a = -----r = -----⋅ -K = -----K. 3 3 3 9](https://img.zadania.info/zad/6052394/HzadR17x.gif)
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest więc równe
![2√ -- Pc = Pp + Pb = 2⋅6 ⋅ a---3+ 6⋅a ⋅H = 4 √ -- ( √ -- ) 2 √ -- √ -- √ -- = 3 3 ⋅ 4--3-K + 6 ⋅ 4-3K ⋅ 1K = 3 3 ⋅ 16-K2 + 8--3K 2 = 9 9 3 27 9 √ -- √ -- = 2-4--3K 2 = 8--3-K2. 9 3](https://img.zadania.info/zad/6052394/HzadR18x.gif)
Odpowiedź: