Zadanie nr 6623909
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne , w których krawędź boczna ma długość
(zobacz rysunek).
-
Wyznacz zależność objętości
ostrosłupa od jego wysokości
i podaj dziedzinę funkcji
.
-
Wyznacz wysokość tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa.
Rozwiązanie
Dorysujmy wysokość ostrosłupa i oznaczamy przez długość jego krawędzi podstawy.
-
Podstawa ostrosłupa to kwadrat, więc
Z drugiej strony
Mamy zatem
Objętość ostrosłupa jest więc równa
Dziedziną tej funkcji jest przedział
(bo
).
Odpowiedź:,
-
Liczymy pochodną funkcji
.
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla
i ujemna dla
. To oznacza, że funkcja
jest rosnąca w przedziale
i malejąca w przedziale
. Największą wartość objętości otrzymamy więc dla
Odpowiedź: