/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 6623909

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne ABCDE , w których krawędź boczna ma długość d (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


  • Wyznacz zależność objętości V ostrosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V (h) .

  • Wyznacz wysokość tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ostrosłupa i oznaczamy przez a długość jego krawędzi podstawy.


ZINFO-FIGURE


  • Podstawa ostrosłupa to kwadrat, więc

     1- 1- √ -- OC = 2 AC = 2 ⋅ a 2.

    Z drugiej strony

    OC 2 = EC 2 − EO 2 = d2 − h2.

    Mamy zatem

    a2- 2 2 2 2 2 2 2 = OC = d − h ⇒ a = 2 (d − h ).

    Objętość ostrosłupa jest więc równa

    V (h) = 1P ⋅EO = 1a2 ⋅h = 2(d2 − h2)h = 2d2h − 2-h3. 3 ABCD 3 3 3 3

    Dziedziną tej funkcji jest przedział

    (0,d )

    (bo EO < EC ).  
    Odpowiedź:  2 2 2 V (h) = 3 (d − h )h , D = (0,d)

  • Liczymy pochodną funkcji V .

     ( ) ( ) ( ) ′ 2-2 2 2 d2- -d-- -d-- V (h) = 3d − 2h = −2 h − 3 = − 2 h − √ 3- h + √ 3- .

    Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla  ( ) h ∈ 0, d√-- 3 i ujemna dla  ( ) h ∈ √d-,d 3 . To oznacza, że funkcja V jest rosnąca w przedziale ( ] 0,√d- 3 i malejąca w przedziale [ ) √d-,d 3 . Największą wartość objętości otrzymamy więc dla

     √ -- -d-- d--3- h = √ 3-= 3 .

     
    Odpowiedź:  √- h = √d-= d33- 3

Wersja PDF
spinner