Zadanie nr 6627984
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne , w których odcinek łączący punkt
przecięcia przekątnych
i
podstawy
z dowolnym wierzchołkiem podstawy
ma długość 3 (zobacz rysunek).
Wyznacz wymiary tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Rozwiązanie
Niech będzie długością krawędzi podstawy graniastosłupa. Wtedy
![√ -- DO = 1-DB = 1⋅ a 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6627984/HzadR1x.png)
Z drugiej strony
![DO 2 = HO 2 − HD 2 = 9 − h2.](https://img.zadania.info/zad/6627984/HzadR2x.png)
Mamy zatem
![a2- 2 2 2 2 2 = DO = 9 − h ⇒ a = 2(9− h ).](https://img.zadania.info/zad/6627984/HzadR3x.png)
Objętość graniastosłupa jest więc równa
![2 2 3 V (h) = PABCD ⋅ HD = a ⋅h = 2(9− h )h = 18h − 2h .](https://img.zadania.info/zad/6627984/HzadR4x.png)
Dziedziną tej funkcji jest przedział
![(0,3 )](https://img.zadania.info/zad/6627984/HzadR5x.png)
Liczymy pochodną funkcji .
![( ) ( --)( -) V′(h) = 1 8− 6h 2 = − 6 h2 − 3 = − 6 h − √ 3 h+ √ 3 .](https://img.zadania.info/zad/6627984/HzadR7x.png)
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla i ujemna dla
. To oznacza, że funkcja
jest rosnąca w przedziale
i malejąca w przedziale
. Największą objętość otrzymamy więc dla
![√ -- h = 3.](https://img.zadania.info/zad/6627984/HzadR13x.png)
Wtedy
![∘ ---------- ∘ --------- a = 2(9 − h2) = 2(9 − 3) = 2√ 3-](https://img.zadania.info/zad/6627984/HzadR14x.png)
i
![√ -- √ -- V ( 3) = a2 ⋅h = 12 3](https://img.zadania.info/zad/6627984/HzadR15x.png)
Odpowiedź: