/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 6627984

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEF GH , w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EF GH ma długość 3 (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Wyznacz wymiary tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech a będzie długością krawędzi podstawy graniastosłupa. Wtedy

 √ -- DO = 1-DB = 1⋅ a 2. 2 2

Z drugiej strony

DO 2 = HO 2 − HD 2 = 9 − h2.

Mamy zatem

a2- 2 2 2 2 2 = DO = 9 − h ⇒ a = 2(9− h ).

Objętość graniastosłupa jest więc równa

 2 2 3 V (h) = PABCD ⋅ HD = a ⋅h = 2(9− h )h = 18h − 2h .

Dziedziną tej funkcji jest przedział

(0,3 )

Liczymy pochodną funkcji V .

 ( ) ( --)( -) V′(h) = 1 8− 6h 2 = − 6 h2 − 3 = − 6 h − √ 3 h+ √ 3 .

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla  ( √ --) h ∈ 0, 3 i ujemna dla  ( ) √ -- h ∈ 3,3 . To oznacza, że funkcja V jest rosnąca w przedziale ( ] √ -- 0, 3 i malejąca w przedziale [ ) √ 3,3 . Największą objętość otrzymamy więc dla

 √ -- h = 3.

Wtedy

 ∘ ---------- ∘ --------- a = 2(9 − h2) = 2(9 − 3) = 2√ 3-

i

 √ -- √ -- V ( 3) = a2 ⋅h = 12 3

 
Odpowiedź: AB = BC = 2√ 3, AE = √ 3, V = 12√ 3- max

Wersja PDF
spinner