Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6728102

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 4M , a jedna z jego ścian na pole powierzchni dwa razy większe od innej ściany tego prostopadłościanu. Oblicz jaka jest powierzchnia całkowita tego prostopadłościanu, jeżeli jego objętość jest największa możliwa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy prostopadłościan.


PIC


Jeżeli oznaczymy długości krawędzi prostopadłościanu w ten sposób, że ściana o krawędziach a,c jest dwa razy większa od ściany o krawędziach b,c , to mamy

ac = 2bc ⇒ a = 2b.

Ponadto z podanej sumy wszystkich krawędzi mamy

4a + 4b+ 4c = 4M ⇒ c = M − a− b = M − 2b − b = M − 3b.

Objętość prostopadłościanu jest więc równa

 2 3 V (b) = abc = 2b⋅b ⋅(M − 3b ) = 2b M − 6b .

Dziedziną tej funkcji jest przedział ( M ) 0,3- . Liczymy pochodną.

 ( 4M ) ( 2M ) V ′(b ) = 4bM − 18b 2 = 18b ---- − b = − 18b b − ---- . 18 9

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale (0, 2M-) 9 i ujemna w przedziale (2M- M-) 9 , 3 . To oznacza, że funkcja V(b) największą wartość przyjmuje dla b = 2M9-- . Mamy wtedy a = 2b = 4M9- i c = M − 3b = M − 2M3-= M3- .

Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej

Pc = 2(ab + bc + ca) = 2(2b2 + bc+ 2bc) = 2b(2b + 3c) = ( ) = 4M-- 4M--+ M = 4M--⋅ 13M- = 52-M 2. 9 9 9 9 81

 
Odpowiedź: 52M 2 81

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!