Zadanie nr 6728102

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa , a jedna z jego ścian na pole powierzchni dwa razy większe od innej ściany tego prostopadłościanu. Oblicz jaka jest powierzchnia całkowita tego prostopadłościanu, jeżeli jego objętość jest największa możliwa.

Rozwiązanie

Szkicujemy prostopadłościan.

Jeżeli oznaczymy długości krawędzi prostopadłościanu w ten sposób, że ściana o krawędziach a,c jest dwa razy większa od ściany o krawędziach b,c , to mamy

ac = 2bc ⇒ a = 2b.

Ponadto z podanej sumy wszystkich krawędzi mamy

4a + 4b+ 4c = 4M ⇒ c = M − a− b = M − 2b − b = M − 3b.

Objętość prostopadłościanu jest więc równa

2 3 V (b) = abc = 2b⋅b ⋅(M − 3b ) = 2b M − 6b .

Dziedziną tej funkcji jest przedział ( M ) 0,3- . Liczymy pochodną.

( 4M ) ( 2M ) V ′(b ) = 4bM − 18b 2 = 18b ---- − b = − 18b b − ---- . 18 9

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale (0, 2M-) 9 i ujemna w przedziale (2M- M-) 9 , 3 . To oznacza, że funkcja V(b) największą wartość przyjmuje dla b = 2M9-- . Mamy wtedy a = 2b = 4M9- i c = M − 3b = M − 2M3-= M3- .