/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 6798766

Tworząca stożka ma długość . Wyznacz wysokość tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy stożek.

Jeżeli oznaczymy przez promień podstawy, a przez wysokość utworzonego stożka, to mamy

r2 = b2 − h2

i objętość stożka jest równa

V (h) = 1πr 2 ⋅h = 1π (b2 − h2)⋅h = 1π (b2h − h3). 3 3 3

Dziedziną tej funkcji jest przedział h ∈ (0 ,b) . Liczymy pochodną, aby wyznaczyć jej maksimum.

( --) ( --) V′(h) = 1π (b2 − 3h2) = 1-π b − √ 3h b+ √ 3h . 3 3

Wykresem V ′(h) jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych: h = − √b- 3 i h = √b- 3 . To oznacza, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( ⟩ 0, b√-- 3 i ujemna w przedziale ⟨ ) √b-,b 3 . To z kolei oznacza, że największą objętość stożka otrzymamy dla √- h = √b3-= h33- . Objętość ta jest wtedy równa