/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 6816952

Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 64 cm i szerokości 40 cm. Po dwóch stronach tego arkusza wycięto prostokąty, w których stosunek boków jest równy 1:2 (zacieniowane prostokąty na rysunku).

PIC

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długości boków wyciętych prostokątów, dla których objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy długość krótszego boku każdego z odciętych prostokątów przez x , to po złożeniu otrzymamy pudełko, które w podstawie ma prostokąt o bokach długości 64 − 2x i 2x .

PIC

Wysokość tego pudełka będzie równa 40−22x = 2 0− x . Musimy zatem znaleźć największą wartość funkcji

V (x) = (64 − 2x )2x(20 − x) = 4(32− x)(20 − x)x = 4(640x − 5 2x2 + x3)

w przedziale (0,20) (takie wartości może przyjmować x ). Liczymy pochodną funkcji w nawiasie.

f′(x) = 64 0− 104x + 3x2.

Szukamy teraz miejsc zerowych pochodnej.

Δ = 104 2 − 4 ⋅3 ⋅640 = 1 0816 − 7680 = 3136 = 5 62 104 − 56 104 + 56 160 80 x 1 = ---------= 8, x2 = ---------= ----= ---> 20. 6 6 6 3

Wykresem pochodnej jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc pochodna przechodząc przez punkt x = 8 zmienia znak z dodatniego na ujemny. To oznacza, że funkcja V (x) = 4f(x ) jest rosnąca na lewo od x = 8 i malejąca na prawo od tego punktu. W takim razie dla x = 8 otrzymamy największą objętość pudełka. Objętość ta jest równa

V (8) = 4(32 − x)(20 − x )x = 4 ⋅24 ⋅12⋅ 8 = 9216 .

 
Odpowiedź: Boki prostokąta: 8 cm i 16 cm, objętość: 9216 cm 3 .

Wersja PDF