Zadanie nr 6994700

Rozpatrujemy wszystkie stożki o tworzącej długości . Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy stożek.

Jeżeli oznaczymy promień podstawy stożka przez , a jego wysokość przez , to mamy

∘ ------- r = l2 − h 2

i objętość bryły jest równa

V (h) = 1πr 2h = 1-π(l2 − h2)h. 3 3

Wyznaczenie bryły o największej objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

f (h) = (l2 − h2)h = l2h− h3.

Liczymy pochodną tej funkcji

( ) ( ) ( ) ′ 2 2 2 l2 l l f (h) = l − 3h = − 3 h − -3 = − 3 h − √--- h + √--- 3 3

Dziedziną funkcji jest przedział (0,l) i w tym przedziale pochodna ma jedno miejsce zerowe h = √l- 3 . Ponadto na lewo od tego miejsca zerowego pochodna jest dodatnia, a na prawo jest ujemna. To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale ⟨ -l-⟩ 0,√ 3 i maleje w przedziale ⟨-l- ⟩ √ 3,l . W takim razie największą objętość stożka otrzymamy dla √- √l- l-3 h = 3 = 3 . Wtedy