Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6994700

Rozpatrujemy wszystkie stożki o tworzącej długości l . Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy stożek.


PIC


Jeżeli oznaczymy promień podstawy stożka przez r , a jego wysokość przez h , to mamy

 ∘ ------- r = l2 − h 2

i objętość bryły jest równa

V (h) = 1πr 2h = 1-π(l2 − h2)h. 3 3

Wyznaczenie bryły o największej objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

f (h) = (l2 − h2)h = l2h− h3.

Liczymy pochodną tej funkcji

 ( ) ( ) ( ) ′ 2 2 2 l2 l l f (h) = l − 3h = − 3 h − -3 = − 3 h − √--- h + √--- 3 3

Dziedziną funkcji f jest przedział (0,l) i w tym przedziale pochodna ma jedno miejsce zerowe h = √l- 3 . Ponadto na lewo od tego miejsca zerowego pochodna jest dodatnia, a na prawo jest ujemna. To oznacza, że funkcja f rośnie w przedziale ⟨ -l-⟩ 0,√ 3 i maleje w przedziale ⟨-l- ⟩ √ 3,l . W takim razie największą objętość stożka otrzymamy dla  √- √l- l-3 h = 3 = 3 . Wtedy

 ∘ ------- ∘ -- √ -- ∘ -2---2- 2 l2- 2- l--6 r = l − h = l − 3 = l 3 = 3 .

Objętość jest wtedy równa

 ( ) √ -- √ -- 1- 2 2 1- 2 l2 l--3 2l3π---3 V = 3 π(l − h )⋅ h = 3 π ⋅ l − 3 ⋅ 3 = 27 .

 
Odpowiedź:  l√-3 h = 3 ,  l√-6 r = 3 ,  2l3π√-3 Vmax = 27

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!