Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma sześcianów długości... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Największa objętość, 7128039

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Zadania na ekstrema

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 7128039

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma sześcianów długości promienia podstawy i wysokości jest równa 12. Wyznacz ten spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Rozwiązanie

Szkicujemy stożek

Jeżeli za parametr przyjmiemy promień podstawy $r$ stożka, to mamy

3∘ ------- r3 + h3 = 12 ⇒ h = 12 − r3

Objętość stożka jest więc równa

∘ ------- ∘ --------- V (r) = 1-πr2 ⋅h = 1-πr2 3 12− r3 = 1π 31 2r6 − r9. 3 3 3

Wyznaczenie największej wartości objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

f(r) = 12r6 − r9.

Dziedziną tej funkcji jest przedział $√ --- r ∈ (0, 312)$ (bo musi być $h3 = 12 − r3 > 0$ ). Liczymy pochodną

f ′(r) = 12 ⋅6r5 − 9r8 = 9r5(8 − r3).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale $(0,2)$ i ujemna w przedziale $3√ --- (2 , 12)$ . To oznacza, że funkcja $f$ rośnie w przedziale $(0,2⟩$ i maleje w przedziale $√ --- ⟨2, 312)$ . W takim razie największą objętość otrzymamy dla $r = 2$ .