Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7128039

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma sześcianów długości promienia podstawy i wysokości jest równa 12. Wyznacz ten spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy stożek


PIC


Jeżeli za parametr przyjmiemy promień podstawy r stożka, to mamy

 3∘ ------- r3 + h3 = 12 ⇒ h = 12 − r3

Objętość stożka jest więc równa

 ∘ ------- ∘ --------- V (r) = 1-πr2 ⋅h = 1-πr2 3 12− r3 = 1π 31 2r6 − r9. 3 3 3

Wyznaczenie największej wartości objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

f(r) = 12r6 − r9.

Dziedziną tej funkcji jest przedział  √ --- r ∈ (0, 312) (bo musi być h3 = 12 − r3 > 0 ). Liczymy pochodną

f ′(r) = 12 ⋅6r5 − 9r8 = 9r5(8 − r3).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale (0,2) i ujemna w przedziale  3√ --- (2 , 12) . To oznacza, że funkcja f rośnie w przedziale (0,2⟩ i maleje w przedziale  √ --- ⟨2, 312) . W takim razie największą objętość otrzymamy dla r = 2 .

Objętość dla r = 2 jest równa

 √3-- 1- 2∘3 ------3 4--4- V = 3 πr 12− r = 3 π.

 
Odpowiedź:  √ - V = 4-34π 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!