Zadanie nr 7615280

Suma długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka jest równa . Długość jednej z tych krawędzi jest dwa razy większa od drugiej. Oblicz promień sfery opisanej na tym z rozważanych prostopadłościanów, którego objętość jest największa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy prostopadłościan.

Jeżeli oznaczymy długości krawędzi prostopadłościanu przez a,2a i , to wiemy, że

S = a + 2a + b ⇒ b = S − 3a.

Szukamy więc największej możliwej wartości funkcji

V(a) = a⋅2a ⋅b = 2a2(S− 3a) = 2a2S − 6a3.

Dziedziną tej funkcji jest ( ) a ∈ 0, S 3 (bo b = S − 3a > 0 ). Liczymy pochodną

( 2 ) V ′(a) = 4aS − 18a 2 = − 18a a − --S . 9

Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych a = 0 i a = 29 S . Widać więc, że (w ustalonej wcześniej dziedzinie) pochodna jest dodatnia dla a ∈ (0, 2S ) 9 i ujemna dla ( 2 ) a ∈ 9S,+ ∞ . To z kolei oznacza, że funkcja rośnie w przedziale ( ⟩ 0, 29S i maleje w przedziale ⟨ ) 29S ,+ ∞ . W takim razie największą objętość otrzymamy dla a = 2S 9 . Pozostałe krawędzie mają wtedy długości