Zadanie nr 8971705

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym tangens jednego z kątów ostrych jest równy m > 0 . Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość b > 0 . Jakie powinno być pole podstawy ostrosłupa, aby jego objętość była największa? Oblicz tę największą objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy oczywiście opisaną sytuację.

Jeżeli jest spodkiem wysokości ostrosłupa, to informacja o tym że wszystkie krawędzie boczne mają tą samą długość oznacza, że trzy trójkąty prostokątne: DBE , DCE i DAE są przystające. W szczególności BE = CE = AE , czyli punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC . Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to środek jego przeciwprostokątnej (bo jest średnicą tego okręgu), więc

BE = CE = AE = 1AB . 2

Jeżeli oznaczymy AC = x , to podany tg α = m oznacza, że

m = tgα = BC-- ⇒ BC = m ⋅ AC = mx . AC

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABC .

∘ ------------ ∘ ----------- ∘ ------- AB = AC 2 + BC 2 = x2 + m 2x2 = x m2 + 1.

Teraz stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie DBE .

∘ ------------ ∘ ------------------- ∘ --2-----2--2----- DE = DB 2 − BE 2 = b2 − 1⋅ x2(m 2 + 1 ) =--4b--−-x-(m---+-1). 4 2

Sposób I

Obliczamy objętość ostrosłupa

∘ ----------------- 1 1 1 4b2 − x2(m 2 + 1) V = --Pp ⋅DE = -⋅ --⋅x ⋅mx ⋅ --------------------= 3 ∘ --------3--2-------- 2 = -m- 4b 2x4 − x6(m 2 + 1). 1 2

Wystarczy teraz ustalić, dla jakiej wartości wyrażenie pod pierwiastkiem

2 4 6 2 f(x) = 4b x − x (m + 1)

osiąga największą wartość. Zanim jednak to zrobimy, ustalmy jaka jest dziedzina tej funkcji. Musi być oczywiście x > 0 . Z drugiej strony, nie może być zbyt duży, bo wysokość ostrosłupa musi być dodatnia.

2 1( 2 2 2 ) 0 < DE = 4 4b − x (m + 1) 2 x 2 < --4b--- ⇒ x < √--2b----. m 2 + 1 m 2 + 1

Dziedziną interesującej nas funkcji jest więc przedział

( ) x ∈ 0,√--2b---- . m 2 + 1

Liczymy pochodną

( ) ′ 2 3 5 2 3 2 2 ---8b2---- f (x) = 16b x − 6x (m + 1) = − 6x (m + 1 ) x − 3(m 2 + 1) = ( ∘ ----------) ( ∘ ----------) 3 8b 2 8b 2 = − 6x x− ----2----- x + ----2----- = 3(m + 1) 3(m + 1) ( ) ( ) = − 6x3 x− ∘----4b------ x + ∘----4b------ . 6(m 2 + 1) 6(m 2 + 1)

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla

( ) x ∈ 0,∘----4b------ 6(m 2 + 1)

i ujemna dla

( ) x ∈ ∘----4b------,√--2b---- . 6(m 2 + 1 ) m 2 + 1

To oznacza, że funkcja jest rosnąca w przedziale

( ] 4b 0,∘------------ 6(m2 + 1)

i malejąca w przedziale

[ ) -----4b------ ---2b---- ∘ ----2-----, √ --2---- . 6 (m + 1) m + 1

Największą wartość objętości otrzymamy więc dla

4b x = ∘-----------. 6(m 2 + 1)

Pole podstawy jest wtedy równe

1- m- 2 m- ---16b2--- ---4mb-2-- Pp = 2x ⋅mx = 2 ⋅x = 2 ⋅ 6(m 2 + 1 ) = 3(m 2 + 1).

Wysokość ostrosłupa jest wtedy równa

∘ ----------------- ∘ ------16b2- ∘ 8- √- √ -- 4b2 − x2(m 2 + 1) 4b2 − -6-- b ⋅ 6 b ⋅ 463 b 3 DE = ----------2--------- = ------2------= ---2---= ---2---= --3--.

Objętość ostrosłupa jest wtedy równa

2 √ -- √ -- 3 V = 1Pp ⋅DE = 1-⋅---4mb---- ⋅ b-3-= --4--3mb---. 3 3 3 (m2 + 1) 3 27 (m2 + 1)

Sposób II

Tym razem spróbujemy obliczyć objętość ostrosłupa w zależności od jego wysokości h = DE . Jak już wiemy

2 2 2 2 2 2 2 4b--−--4h- 4h = 4b − x (m + 1) ⇒ x = m 2 + 1 .

Objętość ostrosłupa jest więc równa

1- 1- 1- 2 m- 4b-2 −-4h-2 V = 3Pp ⋅h = 3 ⋅2 ⋅mx ⋅h = 6 ⋅ m2 + 1 ⋅h = 2m = ----2-----⋅ (b2 − h 2)h. 3(m + 1)

Wystarczy teraz ustalić, dla jakiej wartości funkcja

2 2 2 3 f (h) = (b − h )h = b h − h

przyjmuje największą wartość. Dziedziną tej funkcji jest oczywiście przedział h ∈ (0,b ) . Liczymy pochodną

( 2) ( ) ( ) f′(h) = b2 − 3h2 = − 3 h2 − b-- = − 3 h − √b--- h+ √b-- . 3 3 3

Widać więc, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( ) b√-- 0, 3 i ujemna w przedziale ( ) √b-,b 3 . W takim razie funkcja rośnie w przedziale ( ] 0,√b- 3 i maleje w przedziale [ ) √b,b 3 . Największą objętość otrzymamy więc dla h = √b- 3 . Objętość jest wtedy równa