Zadanie nr 9031363

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których pole powierzchni całkowitej jest równe . Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech r,H i oznaczają odpowiednio promień podstawy, wysokość i długość tworzącej stożka.

Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

2 P = πr + πrl / : πr P --- − r = l. πr

Z drugiej strony √ -------- l = H 2 + r2 , więc

P-- ∘ --2----2 2 πr − r = H + r /() 2 -P---− 2P-+ r2 = H 2 + r2 π 2r2 π 2 P 2 2P H = π-2r2 − π--.

Nas interesuje objętość stożka . Ponieważ V > 0 , wystarczy ustalić kiedy 2 V przyjmuje wartość największą.

( 1 )2 1 1 ( P 2 2P ) Pπ ( P ) V 2 = -πr 2H = -π 2r4H 2 = -π 2r4 -----− --- = ----⋅r4 ----− 2 . 3 9 9 π 2r2 π 9 πr 2

Wystarczy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji

( P ) P f(r) = r4 ---2 − 2 = − 2r4 + --⋅ r2. πr π

Liczymy pochodną

( ) ( ∘ ---) ( ∘ ---) f′(r) = − 8r3+ 2P-⋅r = − 8r r2 − -P- = − 8r r − -P- r+ -P- . π 4π 4 π 4π

Dziedziną tej funkcji jest przedział ( ∘ --) 0, P-- 2π (bo musi być H 2 > 0 ). Widać z powyższego wzoru, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( ) ∘ -P- 0, 4π- i ujemna w przedziale ( ∘ --- ∘ ---) P-, -P- 4π 2π . To oznacza, że funkcja jest rosnąca na przedziale ( ⟩ ∘ -P- 0, 4π- i malejąca na przedziale ⟨ ) ∘ -P- ∘ -P- 4π-, 2π- . W takim razie największą objętość stożka otrzymamy dla ∘ --- r = P4π- . Mamy wtedy