Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9031363

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których pole powierzchni całkowitej jest równe P . Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Niech r,H i l oznaczają odpowiednio promień podstawy, wysokość i długość tworzącej stożka.


PIC


Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

 2 P = πr + πrl / : πr P --- − r = l. πr

Z drugiej strony  √ -------- l = H 2 + r2 , więc

P-- ∘ --2----2 2 πr − r = H + r /() 2 -P---− 2P-+ r2 = H 2 + r2 π 2r2 π 2 P 2 2P H = π-2r2 − π--.

Nas interesuje objętość stożka V . Ponieważ V > 0 , wystarczy ustalić kiedy  2 V przyjmuje wartość największą.

 ( 1 )2 1 1 ( P 2 2P ) Pπ ( P ) V 2 = -πr 2H = -π 2r4H 2 = -π 2r4 -----− --- = ----⋅r4 ----− 2 . 3 9 9 π 2r2 π 9 πr 2

Wystarczy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji

 ( P ) P f(r) = r4 ---2 − 2 = − 2r4 + --⋅ r2. πr π

Liczymy pochodną

 ( ) ( ∘ ---) ( ∘ ---) f′(r) = − 8r3+ 2P-⋅r = − 8r r2 − -P- = − 8r r − -P- r+ -P- . π 4π 4 π 4π

Dziedziną tej funkcji jest przedział ( ∘ --) 0, P-- 2π (bo musi być H 2 > 0 ). Widać z powyższego wzoru, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( ) ∘ -P- 0, 4π- i ujemna w przedziale ( ∘ --- ∘ ---) P-, -P- 4π 2π . To oznacza, że funkcja f jest rosnąca na przedziale ( ⟩ ∘ -P- 0, 4π- i malejąca na przedziale ⟨ ) ∘ -P- ∘ -P- 4π-, 2π- . W takim razie największą objętość stożka otrzymamy dla  ∘ --- r = P4π- . Mamy wtedy

 ∘ ---- P 2 2P P 2 2P 4P 2P 2P 2P H 2 = --2-2 − ---= -----P- − --- = --- − --- = --- ⇒ H = --- π r π π 2 ⋅ 4π- π π π π π

i objętość jest równa

 ∘ ---- ∘ ---- V = 1-πr2 ⋅H = 1-π ⋅-P- ⋅ 2P- = P--⋅ 2P-. 3 3 4π π 12 π

 
Odpowiedź:  ∘ --- r = P-- 4π ,  ∘ --- H = 2P π ,  ∘ --- V = 1P2 ⋅ 2Pπ-

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!