Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Największa objętość, 9042721

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Zadania na ekstrema

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 9042721

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe $12 π$ . Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych walców, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Rozwiązanie

Niech $r$ i $H$ oznaczają odpowiednio promień podstawy i wysokość walca.

Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

2 12π = 2⋅ πr + 2πrH / : 2π 6 = r2 + rH ⇒ rH = 6− r2.

Liczymy objętość walca.

2 2 V = πr H = πr ⋅rH = πr (6 − r ).

Aby wyznaczyć największą możliwą objętość walca liczymy pochodną funkcji

f(r) = r(6 − r2) = −r 3 + 6r

określonej dla $√ -- r ∈ (0, 6)$ . Liczymy

√ -- √ -- f ′(r) = − 3r2 + 6 = − 3(r2 − 2) = − 3(r − 2)(r + 2).

Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna jest dodatnia w przedziale $√ -- (0 , 2 )$ i ujemna w przedziale $√ --√ -- ( 2, 6 )$ . To oznacza, że w punkcie $√ -- r = 2$ funkcja $f$ osiąga największą wartość. Objętość walca jest wtedy równa