Zadanie nr 9042721
Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe . Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych walców, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.
Rozwiązanie
Niech i
oznaczają odpowiednio promień podstawy i wysokość walca.
Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

Liczymy objętość walca.

Aby wyznaczyć największą możliwą objętość walca liczymy pochodną funkcji

określonej dla . Liczymy

Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale
. To oznacza, że w punkcie
funkcja
osiąga największą wartość. Objętość walca jest wtedy równa

Wysokość walca jest wtedy równa

Odpowiedź: Wysokość: , objętość:
.