Zadanie nr 9042721

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 12 π . Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych walców, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech i oznaczają odpowiednio promień podstawy i wysokość walca.

Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

2 12π = 2⋅ πr + 2πrH / : 2π 6 = r2 + rH ⇒ rH = 6− r2.

Liczymy objętość walca.

2 2 V = πr H = πr ⋅rH = πr (6 − r ).

Aby wyznaczyć największą możliwą objętość walca liczymy pochodną funkcji

f(r) = r(6 − r2) = −r 3 + 6r

określonej dla √ -- r ∈ (0, 6) . Liczymy

√ -- √ -- f ′(r) = − 3r2 + 6 = − 3(r2 − 2) = − 3(r − 2)(r + 2).

Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna jest dodatnia w przedziale √ -- (0 , 2 ) i ujemna w przedziale √ --√ -- ( 2, 6 ) . To oznacza, że w punkcie √ -- r = 2 funkcja osiąga największą wartość. Objętość walca jest wtedy równa