Zadanie nr 9042721
Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe . Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych walców, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.
Rozwiązanie
Niech i
oznaczają odpowiednio promień podstawy i wysokość walca.
Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy
![2 12π = 2⋅ πr + 2πrH / : 2π 6 = r2 + rH ⇒ rH = 6− r2.](https://img.zadania.info/zad/9042721/HzadR3x.gif)
Liczymy objętość walca.
![2 2 V = πr H = πr ⋅rH = πr (6 − r ).](https://img.zadania.info/zad/9042721/HzadR4x.gif)
Aby wyznaczyć największą możliwą objętość walca liczymy pochodną funkcji
![f(r) = r(6 − r2) = −r 3 + 6r](https://img.zadania.info/zad/9042721/HzadR5x.gif)
określonej dla . Liczymy
![√ -- √ -- f ′(r) = − 3r2 + 6 = − 3(r2 − 2) = − 3(r − 2)(r + 2).](https://img.zadania.info/zad/9042721/HzadR7x.gif)
Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale
. To oznacza, że w punkcie
funkcja
osiąga największą wartość. Objętość walca jest wtedy równa
![√ -- √ -- V = πr (6− r2) = π ⋅ 2 ⋅4 = 4 2π .](https://img.zadania.info/zad/9042721/HzadR12x.gif)
Wysokość walca jest wtedy równa
![2 H = 6-−-r- = √4--= 2√ 2-. r 2](https://img.zadania.info/zad/9042721/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: Wysokość: , objętość:
.