Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9042721

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 12 π . Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych walców, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Niech r i H oznaczają odpowiednio promień podstawy i wysokość walca.


PIC


Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

 2 12π = 2⋅ πr + 2πrH / : 2π 6 = r2 + rH ⇒ rH = 6− r2.

Liczymy objętość walca.

 2 2 V = πr H = πr ⋅rH = πr (6 − r ).

Aby wyznaczyć największą możliwą objętość walca liczymy pochodną funkcji

f(r) = r(6 − r2) = −r 3 + 6r

określonej dla  √ -- r ∈ (0, 6) . Liczymy

 √ -- √ -- f ′(r) = − 3r2 + 6 = − 3(r2 − 2) = − 3(r − 2)(r + 2).

Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna jest dodatnia w przedziale  √ -- (0 , 2 ) i ujemna w przedziale  √ --√ -- ( 2, 6 ) . To oznacza, że w punkcie  √ -- r = 2 funkcja f osiąga największą wartość. Objętość walca jest wtedy równa

 √ -- √ -- V = πr (6− r2) = π ⋅ 2 ⋅4 = 4 2π .

Wysokość walca jest wtedy równa

 2 H = 6-−-r- = √4--= 2√ 2-. r 2

 
Odpowiedź: Wysokość: 2√ 2- , objętość:  √ -- 4 2 π .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!