Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9149958

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o polu powierzchni całkowitej P . Wyznacz wysokość i długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Niech a i H oznaczają odpowiednio długość krawędzi podstawy i wysokość prostopadłościanu.


PIC


Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

 2 P = 2a + 4aH / : 4 P a 2 P a2 -- = ---+ aH ⇒ aH = --− --. 4 2 4 2

Liczymy objętość prostopadłościanu.

 ( P a2) V = a2H = a ⋅aH = a -- − --- . 4 2

Aby wyznaczyć największą możliwą objętość prostopadłościanu liczymy pochodną funkcji

 ( 2 ) 3 V (a) = a P-− a-- = − a-+ P-a 4 2 2 4

określonej dla  ( ∘ -) P- a ∈ 0 , 2 . Liczymy

 ( ) ( ∘ --) ( ∘ --) V′(a) = − 3-a2 + P-= − 3- a 2 − P- = − 3- a− P- a + P- . 2 4 2 6 2 6 6

Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna jest dodatnia w przedziale ( ∘ -) 0, P6- i ujemna w przedziale ( ∘ --∘ -) P, P- 6 2 . To oznacza, że w punkcie  ∘ -- a = P- 6 funkcja V osiąga największą wartość. Wysokość prostopadłościanu jest wtedy równa

 -- -- P-− a2 P-− -P P ∘ 6 ∘ P H = 4----2-= 4∘--12-= --⋅ --= -- = a. a P- 6 P 6 6

Jest to więc sześcian o krawędzi  ∘ -P a = 6- i jego objętość jest równa

 ( ∘ --) 3 ∘ -- 3 P- P- P- V = a = 6 = 6 ⋅ 6 .

 
Odpowiedź: Sześcian o krawędzi  ∘ -- a = P6- ,  ∘ -- V = P6 ⋅ P6- .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!