Zadanie nr 9256539

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których pole powierzchni całkowitej jest równe . Oblicz promień podstawy tego stożka, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech r,H i oznaczają odpowiednio promień podstawy, wysokość i długość tworzącej stożka.

Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

2 3π = πr + πrl / : π 2 3 3 = r + rl ⇒ l = --− r. r

Z drugiej strony √ -------- l = H 2 + r2 , więc

3- ∘ --2----2 2 r − r = H + r / () 9 -2 − 6+ r2 = H 2 + r2 r H 2 = 9-− 6. r2

Nas interesuje objętość stożka . Ponieważ V > 0 , wystarczy ustalić kiedy V 2 przyjmuje wartość największą.

( ) ( ) ( ) 2 1- 2 2 1- 2 4 2 1- 2 4 9- 1- 2 4 3- V = 3πr H = 9π r H = 9 π r r2 − 6 = 3π r r2 − 2 .

Wystarczy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji

( 3 ) f(r) = r4 -2 − 2 = 3r2 − 2r4. r

Liczymy pochodną

( ) ( √ --) ( √ -) f′(r) = 6r− 8r3 = − 8r r2 − 3- = − 8r r − --3- r+ --3- . 4 2 2

Dziedziną tej funkcji jest przedział ( √-) 0, 26- (bo musi być H 2 > 0 ). Widać z powyższego wzoru, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( √ -) 0,-23 i ujemna w przedziale ( √ - √- ) -23,-62- . To oznacza, że funkcja jest rosnąca na przedziale ( √3 ⟩ 0,-2- i malejąca na przedziale ⟨ √3 √6) 2-, 2-- . W takim razie największą objętość stożka otrzymamy dla √3- r = 2 . Mamy wtedy