Rozpatrujemy wszystkie stożki, których pole powierzchni całkowitej... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Największa objętość, 9256539

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Zadania na ekstrema

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 9256539

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których pole powierzchni całkowitej jest równe $3π$ . Oblicz promień podstawy tego stożka, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Rozwiązanie

Niech $r,H$ i $l$ oznaczają odpowiednio promień podstawy, wysokość i długość tworzącej stożka.

Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

2 3π = πr + πrl / : π 2 3 3 = r + rl ⇒ l = --− r. r

Z drugiej strony $√ -------- l = H 2 + r2$ , więc

3- ∘ --2----2 2 r − r = H + r / () 9 -2 − 6+ r2 = H 2 + r2 r H 2 = 9-− 6. r2

Nas interesuje objętość stożka $V$ . Ponieważ $V > 0$ , wystarczy ustalić kiedy $V 2$ przyjmuje wartość największą.

( ) ( ) ( ) 2 1- 2 2 1- 2 4 2 1- 2 4 9- 1- 2 4 3- V = 3πr H = 9π r H = 9 π r r2 − 6 = 3π r r2 − 2 .

Wystarczy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji

( 3 ) f(r) = r4 -2 − 2 = 3r2 − 2r4. r

Liczymy pochodną

( ) ( √ --) ( √ -) f′(r) = 6r− 8r3 = − 8r r2 − 3- = − 8r r − --3- r+ --3- . 4 2 2

Dziedziną tej funkcji jest przedział $( √-) 0, 26-$ (bo musi być $H 2 > 0$ ). Widać z powyższego wzoru, że pochodna jest dodatnia w przedziale $( √ -) 0,-23$ i ujemna w przedziale $( √ - √- ) -23,-62-$ . To oznacza, że funkcja $f$ jest rosnąca na przedziale $( √3 ⟩ 0,-2-$ i malejąca na przedziale $⟨ √3 √6) 2-, 2--$ . W takim razie największą objętość stożka otrzymamy dla $√3- r = 2$ . Mamy wtedy