Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9256539

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których pole powierzchni całkowitej jest równe 3π . Oblicz promień podstawy tego stożka, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Niech r,H i l oznaczają odpowiednio promień podstawy, wysokość i długość tworzącej stożka.


PIC


Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

 2 3π = πr + πrl / : π 2 3 3 = r + rl ⇒ l = --− r. r

Z drugiej strony  √ -------- l = H 2 + r2 , więc

 3- ∘ --2----2 2 r − r = H + r / () 9 -2 − 6+ r2 = H 2 + r2 r H 2 = 9-− 6. r2

Nas interesuje objętość stożka V . Ponieważ V > 0 , wystarczy ustalić kiedy V 2 przyjmuje wartość największą.

 ( ) ( ) ( ) 2 1- 2 2 1- 2 4 2 1- 2 4 9- 1- 2 4 3- V = 3πr H = 9π r H = 9 π r r2 − 6 = 3π r r2 − 2 .

Wystarczy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji

 ( 3 ) f(r) = r4 -2 − 2 = 3r2 − 2r4. r

Liczymy pochodną

 ( ) ( √ --) ( √ -) f′(r) = 6r− 8r3 = − 8r r2 − 3- = − 8r r − --3- r+ --3- . 4 2 2

Dziedziną tej funkcji jest przedział ( √-) 0, 26- (bo musi być H 2 > 0 ). Widać z powyższego wzoru, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( √ -) 0,-23 i ujemna w przedziale ( √ - √- ) -23,-62- . To oznacza, że funkcja f jest rosnąca na przedziale ( √3 ⟩ 0,-2- i malejąca na przedziale ⟨ √3 √6) 2-, 2-- . W takim razie największą objętość stożka otrzymamy dla  √3- r = 2 . Mamy wtedy

 √ -- H 2 = 9- − 6 = -9− 6 = 6 ⇒ H = 6. r2 34

i objętość jest równa

 √ -- 1- 2 1- 3- √ -- --6- V = 3πr ⋅H = 3 π ⋅4 ⋅ 6 = 4 π .

 
Odpowiedź: Promień podstawy: √ - --3 2 , objętość: √ - -46π .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!